1 . 推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A，B两组题，每组都有4道题目，甲对A组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．甲对B组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A组中任选2道题或从B组中任选2道题．
(1)若甲选择从A组中任选2道题，设X表示甲答对题目的个数，求X的分布列和期望；
(2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题．

2 . 小明是个爱存钱的小朋友.已知存钱罐里有1元钱，从第1天开始，每天小明以的概率往存钱罐中存入1元钱，以的概率从存钱罐中取出元钱购买喜欢的玩具，这里表示玩具在第天的价格.假设小明在第天取钱购买玩具时，发现存钱罐中的钱不足够.
注：当时，，.
(1)若，求；
(2)若，且小明希望存钱罐中的钱不足能购买玩具时，存钱罐中剩余的钱越多越好，那么小明应该提高还是减小取钱购买玩具的概率，并给出理由.

3 . 为更好保障消费者的食品安全，某蛋糕总店开发了、两种不同口味的生态戚风蛋糕，制作主料均为生态有机原料.已知蛋糕的成本为元/个，蛋糕的成本为元/个，两种蛋糕的售价均为元/个，两种蛋糕的保质期均为一天，一旦过了保质期，则销毁处理.为更好了解市场的需求情况，、两种蛋糕分别在甲、乙两个分店同时进行了为期一个月（天）的试销，假设两种蛋糕的日销量相互独立，统计得到如下统计表.

蛋糕的销售量（个）
天数
蛋糕的销售量（个）
天数

(1)以销售频率为概率，求这两种蛋糕的日销量之和不低于个的概率；
(2)若每日生产、两种蛋糕各个，根据以上数据计算，试问当与时，哪种情况下两种蛋糕的获利之和最大？

4 . 王先生准备利用家中闲置的10万元进行投资，投资公司向其推荐了A，B两种理财产品，其中产品A一年后固定获利，产品B的一年后盈亏情况的分布列如下（表中）：

盈亏情况	获利	不赔不赚	亏损
概率			p

(1)如果王先生只投资产品B，求他一年后投资收益的期望值．
(2)该投资公司为提高客户积极性，对投资产品B的客户赠送鼓励金，每年的鼓励金为产品B的投资额的但不超过1200元．王先生应该如何分配两个产品的投资额，才能使一年后投资收益（含鼓励金）的期望值最大，最大为多少？

5 . 某公司生产一种消毒液，为测试消杀效果，测试车间用该消毒液对8个染菌不锈钢载片进行测试：第一轮测试，逐一对着8个载片进行消杀检测，若检测出不超过1个载片没有消杀效果，则该消毒液合格，测试结束；否则，10分钟后对没有产生消杀效果的载片进行第二轮测试，如果第二轮被测试的载片都产生消杀效果，则消毒液合格，否则需要对该消毒成分进行改良．假设每个染菌载片是否产生消杀效果相互独立，每次消杀检测互不影响，且每次消杀检测每一个染菌片产生效果的概率为．
(1)求经过第一轮测试该消毒液即合格的概率；
(2)每进行一次载片测试视为一次检测，设检测次数的数学期望为，求证：．

6 . “动态清零”是目前我国在新冠肺炎疫情防控中坚持的一个基本原则和目标.“动态清零”就是当出现本土疫情时，政府各部门迅速行动，“发现一起、扑灭一起”，快速切断传播链，保持住社会面无病例的目标.核酸检测是“动态清零”中较为重要的一环，进行核酸检测时，我们将受检者分组，将同一组人员的呼吸道标本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则该组人员检测结果全为阴性；若检验出阳性，则要对该组人员逐个进行检验；这样可以大大减少检验工作量.某社区出现确诊病例，防疫部门决定对社区2000人进行核酸检测.假设随机抽一人核酸检测阳性的概率为0.003.
(1)为了熟悉检验流程，先对5人进行逐个检验，求5人中至少有1人检测结果为阳性的概率；
(2)现有两种分组方式：方案一：10人一组，方案二：20人一组.请你从检测总次数的期望值选择一种方案，并说明理由.（）

7 . 疫情过后，百业复苏，某餐饮店推出了“三红免单”系列促销活动，为了增加活动的趣味性与挑战性，顾客可以从装有个红球、个白球的袋子中摸球参与活动，商家提供、两种活动规则：规则：顾客一次性从袋子中摸出个球，如果个球都是红球，则本次消费免单；如果摸出的个球中有个红球，则获得价值元的优惠券；如果摸出的个球中有个红球，则获得价值元的优惠券；如果摸出的个球中没有红球，则不享受优惠．规则：顾客分次从袋子中摸球，每次摸出只球记下颜色后放回，按照次摸出的球的颜色计算中奖，中奖优惠方案和规则相同．
(1)某顾客计划消费元，若选择规则参与活动，求该顾客参加活动后的消费期望；
(2)若顾客计划消费元，则选择哪种规则参与活动更加划算？试说明理由．

8 . 2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“定点投篮”活动，方案如下：
方案一：共投9次，每次投中得1分，否则得0分，累计所得分数记为；
方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3分，否则得0分，三轮累计所得分数记为．
累计所得分数越多，所获得奖品越多．现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．
(1)若，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3分的概率；
(2)以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一，应选择哪个方案？

9 . 为了监控某台机器的生产过程，检验员每天从该机器生产的零件中随机抽取若干零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这台机器正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．检验员某天从生产的零件中随机抽取个零件，并测量其尺寸（单位：）如下：

将样本的均值作为总体均值的估计值，样本标准差作为总体标准差的估计值．
根据生产经验，在一天抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为该机器可能出现故障，需要停工检修．
(1)试利用估计值判断该机器是否可能出现故障；
(2)若一台机器出现故障，则立即停工并申报维修，直到维修日都不工作．
根据长期生产经验，一台机器停工天的总损失额，、、、（单位：元）．现有种维修方案（一天完成维修）可供选择：
方案一：加急维修单，维修人员会在机器出现故障的当天上门维修，维修费用为元；
方案二：常规维修单，维修人员会在机器出现故障当天或者之后天中的任意一天上门维修，维修费用为元．
现统计该工厂最近份常规维修单，获得机器在第天得到维修的数据如下：

频数

将频率视为概率，若机器出现故障，以机器维修所需费用与机器停工总损失额的和的期望值为决策依据，应选择哪种维修方案？
参考数据：，．参考公式：，．

10 . 为保证考试网上评卷的公平、公正、准确，某次考试制定了如下阅卷规则：每份试卷先由两名评卷人员（一评和二评）进行评分，两名评卷人员的评分相互独立．若两名评卷员所给分数差小于等于1分，则取两评卷员的平均分为最终得分；若两名评卷员所给分数差大于1分，则由第三个人（三评）评阅，当一评与三评所给分数差和二评与三评所给分数差的绝对值不相等时，取三评分数和一、二评接近的分数的平均分为最终得分；当一评与三评所给分数差和二评与三评所给分数差的绝对值相等时，取一、二评分数中的较高分数和三评分数的平均分为最终得分．本次考试共设6道试题，每题均为12分，阅卷过程中由于考生答题不规范导致评卷员的评分出现偏差，12分的试题评分为11分的概率为，评分为10分的概率为，评分为9分的概率为．
(1)若某考生某道试题答题不规范，求该考生此题最终得分X的分布列及数学期望；
(2)若考生甲6道试题答题都不规范；考生乙前4道试题均得满分，第5道试题答题不规范，第6道试题得6分．
①求考生甲得9.5分或10分的题目总数为3的概率；
②请以甲、乙两位同学的总分均值为依据，谈谈你对“答题不规范”的理解．