名校
1 . 在平面向量中有如下定理：已知非零向量
，
，若
，则
(1)拓展到空间，类比上述定理，已知非零向量
，
，若，则___
请在空格处填上你认为正确的结论
(2)若非零向量
，
，
，
且
，
①利用（1）的结论，求当
时，求
的值，
②利用（1）的结论，求当k为何值时，分别取到最大、最小值？
，，若，则(1)拓展到空间，类比上述定理，已知非零向量
，，若，则___请在空格处填上你认为正确的结论(2)若非零向量
，，，且，①利用（1）的结论，求当
时，求的值，②利用（1）的结论，求当k为何值时，
分别取到最大、最小值？
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2 . 在
中有余弦定理：
．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱
的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并证明．
中有余弦定理：．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并证明．
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2022-05-08更新
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60次组卷
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2卷引用：陕西省榆林市定边县第四中学2022-2023学年高二下学期梯度强化训练月考(一)文科数学试题
名校
解题方法
3 . 如图1，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.设O是△ABC的内切圆圆心，
内是△ABC的内切圆半径，设
是△ABC的面积，
是△ABC的周长，由等面积法，可以得到内
.
(1)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球.设三棱锥的体积是
，表面积是
，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式
内(只写结论即可，不必写推理过程)；
(2)如图2，在三棱锥
中，
，
，
两两垂直，且
，求三棱锥的内切球半径和外接球的半径之比.
内是△ABC的内切圆半径，设是△ABC的面积，是△ABC的周长，由等面积法，可以得到内.(1)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球.设三棱锥的体积是
，表面积是，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式内(只写结论即可，不必写推理过程)；(2)如图2，在三棱锥
中，，，两两垂直，且，求三棱锥的内切球半径和外接球的半径之比.
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2021-12-29更新
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441次组卷
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3卷引用：广东省佛山市顺德区高中联盟2019-2020学年高二上学期第一次联考数学试题
4 . 如图（1），在三角形
中，
，若
，则
；若类比该命题，如图（2），三棱锥
中，
平面，若
点在三角形
所在的平面内的射影为
，则有什么结论？命题是否是真命题.
中，，若，则；若类比该命题，如图（2），三棱锥中，平面，若点在三角形所在的平面内的射影为，则有什么结论？命题是否是真命题.
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5 . 如图所示，在平面上，设
、
、
分别是
三条边上的高，
为内任意一点，到相应三边的距离分别为
、
、
，可以得到结论
.通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.
、、分别是三条边上的高，为内任意一点，到相应三边的距离分别为、、，可以得到结论.通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.
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解题方法
6 . 如图所示，在中，
，其中
，
，
分别为角，
，
的对边，在四面体
中，
，
，
，分别表示
，
，
，的面积，
，
，
依次表示面
，面
，面
与底面所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论
中，，其中，，分别为角，，的对边，在四面体中，，，，分别表示，，，的面积，，，依次表示面，面，面与底面所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论
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2020-06-10更新
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186次组卷
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7卷引用：安徽省滁州市定远县育才学校2019-2020学年高二下学期5月月考数学(理)试题
安徽省滁州市定远县育才学校2019-2020学年高二下学期5月月考数学(理)试题（已下线）同步君人教A版选修1-2第二章 2.1.1合情推理（已下线）同步君人教A版选修2-2第二章2.1.1合情推理高中数学人教版 选修2-2（理科） 第二章推理与证明 2.1.1合情推理高中数学人教版 选修1-2（文科） 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理安徽省滁州市定远县民族中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题安徽省滁州市民办高中2019-2020学年高二下学期期末数学(理)试题
名校
解题方法
7 . 命题“在
中,若
,
、
、
所对应的边长分别为
,则
”,类比此性质,若在立体几何中,请给出对应四面体性质的猜想,并证明之.
中,若,、、所对应的边长分别为,则”,类比此性质,若在立体几何中,请给出对应四面体性质的猜想,并证明之.
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2020-03-04更新
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269次组卷
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2卷引用：山西省太原市第五中学2018-2019学年高二下学期阶段性测试（4月）数学(理)试题
名校
8 . 在平面几何中，研究三角形内任意一点与三边的关系时，有真命题：边长为的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值
．类比上述命题，请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出证明．
的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值．类比上述命题，请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出证明．
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9 . 如图1，已知
中，
，点在斜边
上的射影为点
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）如图2，已知三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直，点在底面内的射影为点.类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥中
与，，的关系，并证明.
中，，点在斜边上的射影为点.（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）如图2，已知三棱锥
中，侧棱，，两两互相垂直，点在底面内的射影为点.类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥中与，，的关系，并证明.
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2018-07-10更新
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540次组卷
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5卷引用：【全国百强校】湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中2018-2019学年高二下学期优生联考数学试题
【全国百强校】湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中2018-2019学年高二下学期优生联考数学试题【全国市级联考】安徽省蚌埠市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题【全国市级联考】安徽省蚌埠市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）文科数学试题（已下线）2.1.1 合情推理-2020-2021学年高二数学（理）课时同步练（人教A版选修2-2）
10 .
(1)在中，内角，，的对边分别为，，，且
，证明：
；
(2)已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为，，斜边长为，则斜边上的高
.若把该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体中，若三个侧面的面积分别为，，，底面面积为，则该四面体的高与，，，之间的关系是什么？（用，，，表示）
(1)在
中，内角，，的对边分别为，，，且，证明：；(2)已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为
，，斜边长为，则斜边上的高.若把该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体中，若三个侧面的面积分别为，，，底面面积为，则该四面体的高与，，，之间的关系是什么？（用，，，表示）
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2018-06-01更新
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445次组卷
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2卷引用：【全国市级联考】河北省邢台市2017-2018学年高二下学期第三次月考数学（文）试题
