大招1 赋值法秒杀抽象函数求值

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2024-05-20 2005次

大招1 赋值法秒杀抽象函数求值

1、求解以抽象函数为载体、求特定函数值的问题，优先考虑用赋值法，缩短解题思维路径，具体操作如下：

选值 $\to$ 根据抽象函数关系式进行赋值

代入 $\to$ 代入特殊值，将关系式变形

求值 $\to$ 通过化简得出所求值

$\to$ 或者得出与所求值有关的关系式，继续选值代入，直到求出需要的值；

2、赋值法一般有以下几种：

（1）……， $- 1, - \frac{1}{2}, 0 ， \frac{1}{2}, 1$ ，……等特殊值代入求解；

（2）令式子中出现 $f (x_{1}) - f (x_{2})$ 的变换判定单调性；

（3）令式子中出现 $f (x)$ 及 $f (- x)$ 判定抽象函数的奇偶性；

（4）换 $x$ 为 $x + T$ 确定周期性.

【典例1】函数 $f (x)$ 满足 $\forall x, y \in Z$ ， $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2 x y + 1$ ，且 $f (- 2) = 1$ ，则 $f (2 n) (n \in N^{*}) =$ （）

A． $4 n + 6$ B． $8 n - 1$ C． $4 n^{2} + 2 n - 1$ D． $8 n^{2} + 2 n - 5$

【大招指引】分别令 $x = y = 0$ 、 $x = y = - 1$ 、 $x = 1$ 和 $y = - 1$ 求得 $f (0) = - 1$ 、 $f (1) = 1$ ，再令 $x = n$ ， $y = 1, n \in N^{*}$ 得到 $f (n + 1) - f (n) = 2 n + 2$ ，进而利用累加法或迭代法进行求解.

【解析】令 $x = y = 0$ ，则 $f (0) = f (0) + f (0) + 1$ ，所以 $f (0) = - 1$ ．

令 $x = y = - 1$ ，则 $f (- 2) = f (- 1) + f (- 1) + 2 + 1 = 2 f (- 1) + 3 = 1$ ，所以 $f (- 1) = - 1$ ．

令 $x = 1$ ， $y = - 1$ ，则 $f (0) = f (1) + f (- 1) - 2 + 1 = f (1) - 2 = - 1$ ，所以 $f (1) = 1$ ．

令 $x = n$ ， $y = 1, n \in N^{*}$ ，则 $f (n + 1) = f (n) + f (1) + 2 n + 1 = f (n) + 2 n + 2$ ，

所以 $f (n + 1) - f (n) = 2 n + 2$ ．

当 $n \geq 2$ 时， $f (n) - f (n - 1) = 2 n$ ，

则 $f (n) = f (n) - f (n - 1) + f (n - 1) - f (n - 2) + \cdot \cdot \cdot + f (2) - f (1) + f (1)$

$= 2 n + (2 n - 2) + \cdot \cdot \cdot + 4 + 1 = \frac{(2 n + 4) (n - 1)}{2} + 1 = n^{2} + n - 1$ ．

当 $n = 1$ 时，上式也成立，所以 $f (n) = n^{2} + n - 1 (n \in N^{*})$ ，

所以 $f (2 n) = 4 n^{2} + 2 n - 1 (n \in N^{*})$ ．故选C．

【题后反思】本题也可以利用赋值法进行排除：

令 $x = y = 0$ ，则 $f (0) = f (0) + f (0) + 1$ ，所以 $f (0) = - 1$ ．

令 $x = y = - 1$ ，则 $f (- 2) = f (- 1) + f (- 1) + 2 + 1 = 2 f (- 1) + 3 = 1$ ，所以 $f (- 1) = - 1$ ．

令 $x = 1$ ， $y = - 1$ ，则 $f (0) = f (1) + f (- 1) - 2 + 1 = f (1) - 2 = - 1$ ，所以 $f (1) = 1$ ．

令 $x = y = 1$ ，则 $f (2) = f (1) + f (1) + 2 + 1 = 5$ ，排除选项A、B．

令 $x = y = 2$ ，则 $f (4) = f (2) + f (2) + 8 + 1 = 19$ ，排除选项D．

故选C．

【温馨提醒】求解以抽象函数为载体求某个特殊函数值的问题，优先考虑赋值法，通常取 $0$ ， $\pm 1$ ， $\pm \frac{1}{2}$ 等，也可根据题目信息寻找某个特殊值（如本题中令 $x = n$ ， $y = 1, n \in N^{*}$ ）

【举一反三】

2024高三下·全国·专题练习

多选题 | 较难(0.4)

解题方法

定义法判断证明函数的单调性定义法判断证明函数的奇偶性

（多选）函数

的定义域为

，

，若

，则下列选项正确的有（）

A．	B．
C．函数是增函数	D．函数是奇函数

2024-05-20更新 | 233次组卷 | 1卷引用：大招1 赋值法秒杀抽象函数求值

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【典例2】已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y), f (1) = 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{22} f (k) =$ （）

A． $- 3$ B． $- 2$ C．0 D．1

【大招指引】令 $x = 1, y = 0$ 得到 $f (0) = 2$ ，令 $x = 0$ 得到函数 $f (x)$ 为偶函数，进而令 $y = 1$ 得到函数为周期函数，进而进行求和.

【解析】因为 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ，

令 $x = 1, y = 0$ 可得， $2 f (1) = f (1) f (0)$ ，所以 $f (0) = 2$ ，

令 $x = 0$ 可得， $f (y) + f (- y) = 2 f (y)$ ，即 $f (y) = f (- y)$ ，所以函数 $f (x)$ 为偶函数，

令 $y = 1$ 得， $f (x + 1) + f (x - 1) = f (x) f (1) = f (x)$ ，即有 $f (x + 2) + f (x) = f (x + 1)$ ，

从而可知 $f (x + 2) = - f (x - 1)$ ， $f (x - 1) = - f (x - 4)$ ，故 $f (x + 2) = f (x - 4)$ ，

即 $f (x) = f (x + 6)$ ，所以函数 $f (x)$ 的一个周期为 $6$ ．

因为 $f (2) = f (1) - f (0) = 1 - 2 = - 1$ ， $f (3) = f (2) - f (1) = - 1 - 1 = - 2$ ，

$f (4) = f (- 2) = f (2) = - 1$ ， $f (5) = f (- 1) = f (1) = 1$ ， $f (6) = f (0) = 2$ ，

所以一个周期内的 $f (1) + f (2) + \dots + f (6) = 0$ ．由于22除以6余4，

所以 $\sum_{k = 1}^{22} f (k) = f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = 1 - 1 - 2 - 1 = - 3$ ．

故选：A．

【题后反思】本题也可以联想联想到余弦函数和差化积公式进行求解：

由 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ，联想到余弦函数和差化积公式

$cos (x + y) + cos (x - y) = 2 cos x cos y$ ，可设 $f (x) = a cos ω x$ ，

则由方法一中 $f (0) = 2, f (1) = 1$ 知 $a = 2, a cos ω = 1$ ，解得 $\cos ω = \frac{1}{2}$ ，取 $ω = \frac{π}{3}$ ，

所以 $f (x) = 2 cos \frac{π}{3} x$ ，则

$f (x + y) + f (x - y) = 2 cos (\frac{π}{3} x + \frac{π}{3} y) + 2 cos (\frac{π}{3} x - \frac{π}{3} y) = 4 cos \frac{π}{3} x cos \frac{π}{3} y = f (x) f (y)$ ，