专题01 常考的规律探究问题

题型解读｜模型构建｜通关试练

模型01 数与式、图形的规律问题

数式规律和图形规律探究问题的特点是：问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境等，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．

模型02 平面直角坐标系中的规律问题 （旋转、平移、翻滚、渐变等）

平面直角坐标系中的规律探究问题由于问题背景的不同，这类题的解题策略是：由特例观察、分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问题．具体思维过程是“特殊---一般----特殊”．这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求．

模型01 数与式、图形的规律问题

考｜向｜预｜测

数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律——重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析．主要考查学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题．

答｜题｜技｜巧

例1．（2023·湖南）

2011·湖南长沙·一模

填空题 | 较易(0.85)

真题 名校

观察下列按顺序排列的等式：，试猜想第n个等式（n为正整数）：a_n=_____．

2019-01-30更新 | 1649次组卷 | 23卷引用：2011年湖南省长沙市九年级毕业学业模拟考试数学卷

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例2．（2023·安徽）

2022·安徽安庆·二模

解答题-问答题 | 适中(0.65)

（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比第(1)个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推.

(1)第（9）个图中阴影三角形的个数为         ；非阴影三角形的个数为        ．
(2)第个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求.
(3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由.

2022-05-21更新 | 523次组卷 | 2卷引用： 2022年安徽省安庆市中考二模数学试题

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例3．（2023·江西）

23-24九年级上·江西九江·阶段练习

解答题-问答题 | 适中(0.65)

规律探究与猜想：
①方程的解为，；
②方程的解为，；
③方程的解为，；
④方程的解为，；
……
(1)根据以上各方程及其解的特征，请解答下列问题：
①方程的解为______．

②第个方程为______，其解为______．

(2)请用公式法解方程，验证猜想结论的正确性．

2023-10-21更新 | 453次组卷 | 2卷引用：江西省九江市修水县2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

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模型02 平面直角坐标系中的规律问题

考｜向｜预｜测

平面直角坐标系中的规律问题 （旋转、平移、翻滚、渐变等）该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等）．主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算．

答｜题｜技｜巧

旋转型

例1．（2023·四川）

2024·河南驻马店·一模

单选题 | 适中(0.65)

如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

2024-03-19更新 | 676次组卷 | 4卷引用：2024年河南省驻马店市新蔡县中考一模考试数学试题

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平移型

例2．（2023·杭州）

17-18七年级下·河南信阳·期末

单选题 | 较难(0.4)

名校

如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（–1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，–2），……，按这样的运动规律，动点P第2018次运动到点

A．（2018，0）

B．（2017，0）

C．（2018，1）

D．（2017，–2）

2018-07-03更新 | 1664次组卷 | 7卷引用：河南省信阳市浉河区2017-2018学年七年级下学期期末考试数学试题

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翻滚型

例3．（2023·安徽）

2023·安徽滁州·二模

单选题 | 适中(0.65)

如图所示，在平面直角坐标系中，，，，都是等边三角形，其边长依次为，，，其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，按此规律排下去，则点的坐标为（　）

   

A．

B．

C．

D．

2023-05-18更新 | 588次组卷 | 6卷引用：2023年安徽省滁州市凤阳县西片中考二模数学试题

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22-23八年级上·山东滨州·期末

填空题 | 较易(0.85)

我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2行从左到右数第1个定为，我们把第4行从左到右数第3个定为，由图我们可以知道：，按照图中数据规律，的值为________．

2023-03-11更新 | 504次组卷 | 6卷引用：山东省滨州市惠民县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

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2023·云南红河·一模

单选题 | 较易(0.85)

如图图形是同样大小的小五角星按一定规律组成的，按此规律排列，则第n个图形中小五角星的个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

2024-03-18更新 | 482次组卷 | 2卷引用：2023年云南省红河州中考数学一模模拟试题

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22-23七年级上·广东茂名·期中

单选题 | 较易(0.85)

名校

正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则连续翻转2022次后，数轴上2022这个数所对应的点是（　　）

   

A．A点

B．B点

C．C点

D．D点

2023-07-15更新 | 514次组卷 | 3卷引用：广东省茂名市信宜市金垌中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题（11月）

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2023·辽宁阜新·二模

单选题 | 适中(0.65)

名校

如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（       ）

   

A．

B．

C．

D．

2023-09-26更新 | 871次组卷 | 5卷引用：2023年辽宁省阜新市实验中学九年级中考数学二模试题

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2023·河南新乡·二模

单选题 | 适中(0.65)

名校

如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，其坐标分别为、，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ）

A．

B．

C．

D．

2024-03-17更新 | 482次组卷 | 2卷引用：2023年河南省新乡十中、十一中、二十一中中考数学二模模拟试题

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23-24七年级上·河南新乡·期末

单选题 | 适中(0.65)

名校

汉字文化正在走进人们的日常消费生活．如图所示图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有个圆点，图②中共有个圆点，图③中共有个圆点，图④中共有个圆点…依此规律则图⑩中共有圆点的个数是（       ）

A．

B．

C．

D．

2024-02-26更新 | 444次组卷 | 2卷引用：河南省新乡市红旗区第十中学2023-2024学年七年级上学期期末数学试题

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23-24八年级上·湖北武汉·期中

单选题 | 较难(0.4)

名校

已知点，记关于直线m（直线m上各点的横坐标都为0）的对称点为，关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为1）的对称点为，关于直线p（直线p上各点的横坐标都为）的对称点为，关于直线q（直线q上各点的纵坐标都为3）的对称点为，关于直线m的对称点为，关于直线n的对称点为，……依此规律的坐标是（       ）

A．

B．

C．

D．

2023-11-14更新 | 633次组卷 | 4卷引用：湖北省武汉市武珞路中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

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20-21八年级下·山东济宁·期末

单选题 | 适中(0.65)

名校

如图，，过点作且，得；再过点，作，且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得（　　）

   

A．

B．

C．

D．

2021-09-18更新 | 1084次组卷 | 10卷引用：山东省济宁市邹城市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题

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18-19七年级下·广西贵港·期末

填空题 | 较易(0.85)

请看杨辉三角，并观察下列等式：





根据前面各式的规律，则______.

2019-07-15更新 | 604次组卷 | 5卷引用：广西贵港市港南区2018-2019学年七年级下学期期末考试数学试题

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2023九年级上·全国·专题练习

填空题 | 适中(0.65)

名校

在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为_______．

   

2023-08-26更新 | 709次组卷 | 7卷引用：四川省广元市利州区2023-2024学年九年级上学期期中监测数学试题

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17-18七年级上·福建莆田·期中

解答题-计算题 | 适中(0.65)

名校

探究规律题
按照规律填上所缺的单项式并回答问题：
（1）,________,__________；
（2）试写出第2017个和第2018个单项式；
（3）试写出第n个单项式；
（4）试计算：当a= -1时，的值.

2017-11-28更新 | 550次组卷 | 3卷引用：福建省仙游县郊尾沙溪中学、枫亭中学等五校教研小片区2017-2018学年七年级上学期期中考试数学试题

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23-24七年级上·河南安阳·阶段练习

解答题-问答题 | 较易(0.85)

探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
；；
；；
；．

(1)归纳*运算的法则：
两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________
(2)计算：．
(3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

2024-03-13更新 | 433次组卷 | 2卷引用：河南省安阳市内黄县实验中学2023-2024学年七年级上学期第一次月考数学试题

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23-24七年级上·浙江杭州·期中

解答题-问答题 | 适中(0.65)

探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；；
；；
；；；．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
(1)观察以上式子，类比计算：
①        ，        ；
(2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤）
(3)若．计算：的值．

2024-01-06更新 | 479次组卷 | 2卷引用：浙江省杭州市拱墅区杭州北苑实验中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题

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