【推荐1】数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和．

【推荐2】设正项数列的前项和为，首项为1，为非零正常数，数列是公差为的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是递增数列；
（3）是否存在正常数，使得为等差数列？若存在，求出的值和此时的取值范围；若不存在，说明理由．

【推荐1】已知数列和满足，，对都有，成立.
（1）证明：是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式；
（3），，求证：.

【推荐2】已知数列的各项均不为0，其前n项和为．若，，，．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列满足，，求证：数列是等差数列．

【推荐1】等差数列首项和公差都是，记的前n项和为，等比数列各项均为正数，公比为q，记的前n项和为：
（1）写出构成的集合A；
（2）若将中的整数项按从小到大的顺序构成数列，求的一个通项公式；
（3）若q为正整数，问是否存在大于1的正整数k，使得同时为（1）中集合A的元素？若存在，写出所有符合条件的的通项公式，若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知数列，满足，，，．
（1）证明：为常数数列，且．
（2）设数列的前项和为，证明：．

【推荐3】定义：对于一个项数为的数列，若存在且，使得数列的前k项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”.例如：因为，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：
（1）数列1，2，p，4是“等和数列”，求实数p的值；
（2）项数为的等差数列的前n项和为，，求证：是“等和数列”.
（3）是公比为q项数为的等比数列，其中且恒成立.判断是不是“等和数列”，并证明你的结论.

【推荐1】已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)证明：对于任意正整数，不等式成立.

【推荐2】已知正项数列的前n项和为，对任意，点都在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．

【推荐3】正项递增数列的前项和为，.
(1)求的通项公式；
(2)若，，，数列的前项和为，证明：.