【推荐1】如图，已知直线与抛物线相切于点，且与轴交于点，定点的坐标为.

（1）求以为左焦点且过点的椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线（斜率不等于零）与（1）中的椭圆交于不同的两点，（在，之间），试求与面积之比的取值范围.

【推荐2】已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：必过定点，并求出该定点的坐标．

【推荐3】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，，分别为椭圆的上、下顶点，点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆的另一交点分别为，证明：直线过定点.

【推荐1】已知椭圆.
（1）求椭圆的短轴长和离心率；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，，设的中点为，点，判断与的大小，并证明你的结论.

【推荐2】已知椭圆，左顶点为，右顶点为.
(1)求椭圆的长轴长与短轴长的差值；
(2)已知定直线，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线，分别与直线交于点与.当的长度最小时，椭圆上是否存在这样的点，满足的面积为？若存在，确定点的个数；若不存在，请说明理由.

【推荐3】2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖暅父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.

（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体，几何体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面内.设与平面平行且距离为的平面截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；

（Ⅱ）现将椭圆所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球，（如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球的体积公式，并写出椭球，的体积之比.

【推荐1】已知椭圆的左､右顶点分别为，右焦点为F（1，0），且椭圆C的离心率为，M，N为椭圆C上任意两点，点P的坐标为（4，t）（t≠0），且满足.
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：M，F，N三点共线.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线经过点且斜率为，与椭圆相交于两点，与以椭圆的右顶点为圆心的圆相交于两点（自下至上排列），为坐标原点.，且，求直线和圆的方程.

【推荐3】已知椭圆经过点，且离心率.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若M，N是椭圆E上异于点P的两点，且以线段为直径的圆恒过点P，判断直线是否过定点？如果是，求此定点坐标.如果不是，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆的左右顶点分别为，，椭圆上一点M（除，外）与，连线的斜率之积为，椭圆的焦距为.

（1）求椭圆C的方程；
（2）设交直线于点P，连接交椭圆于点N，求证：直线MN过定点.

【推荐2】已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一点，为坐标原点，椭圆的离心率为，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，直线：与椭圆交于两个不同点，；直线与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：直线经过定点.

【推荐3】已知椭圆的左､右顶点分别为为椭圆上任意一点（与不重合），直线和的斜率之积为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作斜率之和为1的两条直线分别与椭圆交于两点，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由．