【推荐1】已知是各项都为正数的数列，其前n项和为，且.
（1）求证：为等差数列；
（2）设，求的前n项和；
（3）求集合.

【推荐2】设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.
（1）求函数的解析式和值域；
（2）试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，
并说明理由；
（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.

【推荐3】已知数列的首项，前n项和为，且
（Ⅰ）求证数列为等比数列；
（Ⅱ）设数列{ }的前n项和为，求证： ．
（Ⅲ）设函数 ，令 ，求数列的通项公式，并判断其单调性．

【推荐1】已知数列和满足：，且成等比数列，成等差数列．
（1）行列式，且，求证：数列是等差数列；
（2）在（1）的条件下，若不是常数列，是等比数列，
①求和的通项公式；
②设是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，求的最小值．

【推荐2】已知数列的前项和为，满足：，
(1)求数列的通项公式；
(2)对于正整数，已知三数构成等差数列，求正整数的值.

【推荐3】已知抛物线：的焦点为，是抛物线上一点，且满足.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知直线与抛物线交于，两点，且，线段的中点在直线上.
（i）求直线的方程；
（ii）证明：，，成等差数列，并求该数列的公差.

【推荐1】已知数列满足：，．数列的前n项和为，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，．求数列的前项和．

【推荐2】已知正项数列的前n项和为，且满足，数列满足，，且.
(1)求数列与的通项公式；
(2)求数列的前项的；
(3)将数列与的项相间排列构成新数列，设新数列的前项和为，若对任意正整数n都有，求实数的取值范围.

【推荐3】记为数列的前项和，已知，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．
从①   ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.

【推荐1】对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质m”：
①；②存在实数M，使得成立．
(1)数列、中，，判断、是否具有“性质m”；
(2)设各项为正数的等比数列的前n项和为，且，，数列是否具有“性质m”，若具有，请证明你的猜想，并指出M的范围；若不具有，理由？
(3)若数列的通项公式．对于任意的（），数列具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值，求证：．

【推荐2】已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有、、成等差数列，、、成等比数列，且．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列、的通项公式；
（3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【推荐3】已知数列{a_n}的前n项和为S_n，b_n=(nN*).若{b_n}是公差不为0的等差数列，且b₂b₇=b₁₁．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）证明：数列{a_n}是等差数列；
（3）记c_n=，若存在k₁，k₂N*(k₁k₂)，使得成立，求实数a₁的取值范围．