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解题方法
1 . 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图(1)是一个面积为1的实心正三角形,分别连接这个正三角形三边的中点,将原三角形分成4个小正三角形,并去掉中间的小正三角形得到图(2),再对图(2)中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图(3),再对图(3)中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图(4),…,依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为,第n个图形中实心区域的面积为.(1)写出数列和的通项公式;
(2)设,证明.
(2)设,证明.
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2 . 各种不同的进制在我们生活中随处可见,计算机使用的是二进制,数学运算一般用的是十进制.通常我们用函数表示在x进制下表达个数字的效率,则下列选项中表达M个数字的效率最高的是( )
A.二进制 | B.三进制 | C.七进制 | D.十进制 |
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3 . 生活中有各种不同的进制,计算机使用的是二进制,数学运算一般使用十进制. 任何进制数均可转换为十进制数,如八进制数转换为十进制数的算法为.若将八进制数转换为十进制数,则转换后的数的末位数字是( )
A.1 | B.3 | C.5 | D.7 |
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4 . 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所抓写的一部数学专著,被誉为人类科学史上应用数学的最早期峰.全书分为九章,卷第六“均输”有一问题:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升,问中间二节欲均容各多少?”其意思为:“今有竹9节,下3节容量4升,上4节容量3升,且竹节容积从下到上均匀变化,从下部算起第5节容量是______ 升(结果保留分数)
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5 . 南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列,其前项分别,,,,,,,则该数列的第项为( )
A. | B. | C. | D. |
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2024-08-29更新
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389次组卷
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8卷引用:湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中数学试题
解题方法
6 . 明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由,,和求各项的问题,如九儿问甲歌:“一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七.借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子,不知道他们的出生年月,他们的年龄从大到小排列都差3岁,所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁,其他每个儿子的岁数就可以推算出来,则该问题中老人长子的岁数为( )
A.27 | B.31 | C.35 | D.39 |
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7 . “固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,项链所形成的曲线是什么?”这就是意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出的著名的“悬链线问题”,后人给出了悬链线的函数表达式,其中为悬链线系数,称为双曲余弦函数,其函数表达式,相应地,双曲正弦函数的函数表达式为,则( )
A. |
B.关于的不等式的解集为 |
C.当与和共有3个交点时, |
D.如果对任意,都有,那么的最大值为1 |
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解题方法
8 . “珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家,他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节六升六,上梢四节四升四,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”(注:六升六:6.6升,次第盛:盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为( )
A.3.4升 | B.2.4升 | C.2.3升 | D.3.6升 |
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解题方法
9 . 牛顿法( Newton's method)是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法,其过程如下:如图,设r是的根,选取x.作为r的初始近似值,过点作曲线的切线L,L的方程为.如果,则 L与x轴的交点的横坐标记为,称为r 的一阶近似值.再过点作曲线的切线,并求出切线与x轴的交点横坐标记为,称为r的二阶近似值.重复以上过程,得r的近似值序列:,根据已有精确度,当时,给出近似解.对于函数,已知.(1)若给定,求r的二阶近似值;
(2)设
①试探求函数h(x)的最小值 m 与r 的关系;
②证明:.
(2)设
①试探求函数h(x)的最小值 m 与r 的关系;
②证明:.
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10 . 若函数的定义域为全体正整数集合,则称:或,为数列,简记为,数列中的每一项即为.我们举个例子,古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:一尺之锤,日取其半,万世不竭.其含义为:一根长一尺的木棒,每天截下一半,这样的过程可以无限进行下去.第一天截下,第二天截下,第天截下...不难看出,数列的通项随着的无限增大而无限接近于0,那么我们就说数列的极限为0.我们定义:设为数列,为定数,若对给定的任意正数,总存在正整数,使得时有,则称数列收敛于,定数称为数列的极限,记为.
(1)已知数列,,证明:当不断增大时,的值会不断趋向于黄金分割比.
(2)设数列满足,且,证明:.
(3)材料:设是个实数列,对任意给定的,若存在,使得凡,且,都有,则称为“柯西列”.问题解决:定义,证明:时,不是“柯西列”,时,是“柯西列”.
(1)已知数列,,证明:当不断增大时,的值会不断趋向于黄金分割比.
(2)设数列满足,且,证明:.
(3)材料:设是个实数列,对任意给定的,若存在,使得凡,且,都有,则称为“柯西列”.问题解决:定义,证明:时,不是“柯西列”,时,是“柯西列”.
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