1 . 在锐角
中，
为
延长线上一点，过分别作
，
平行线
，
，若
，
，且
的外接圆与
交于点
，证明：
(1)
；
(2)
．
中，为延长线上一点，过分别作，平行线，，若，，且的外接圆与交于点，证明：(1)
；(2)
．
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2023-12-14更新
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124次组卷
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2卷引用：2023年第39届全国中学生冬令营（CMO)数学试题
2 . 已知点
，过点
的直线
上有一个动点
，则
的最小值为
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2023高三·全国·专题练习
3 . 如图所示，菱形
的对角线与
交于点
，点
、
分别为
、
的中点，
交于点
，将
沿折起到
的位置.
(1)证明：
；
(2)若
，
，
，求二面角
的大小.
的对角线与交于点，点、分别为、的中点，交于点，将沿折起到的位置.(1)证明：
；(2)若
，，，求二面角的大小.
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解题方法
4 . 在锐角三角形ABC中，
，
，H为的垂心，
，O为的外心，且
，则
（ ）
，，H为的垂心，，O为的外心，且，则（ ）| A．9 | B．8 | C．7 | D．6 |
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5 . 如图，
是以为直径的固定的半圆弧，
是经过点
及上另一个定点的定圆，且的圆心位于
内.设是的弧
（不含端点）上的动点，
，
是上的两个动点，满足：在线段
上，，位于直线的异侧，且
.记
的外心为.证明：
(1)点在
的外接圆上；
(2)为定点.
是以为直径的固定的半圆弧，是经过点及上另一个定点的定圆，且的圆心位于内.设是的弧（不含端点）上的动点，，是上的两个动点，满足：在线段上，，位于直线的异侧，且.记的外心为.证明： (1)点
在的外接圆上；(2)
为定点.
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6 . 已知圆
、
交于点
、
，且内切于圆，切点分别为
、
，为圆上的任意一点，线段
、
分别与圆、交于
，
．证明：
(1)与圆切于点的直线和与圆切于点的直线平行；
(2)
是圆与圆的公切线的充分必要条件是在直线
上．
、交于点、，且内切于圆，切点分别为、，为圆上的任意一点，线段、分别与圆、交于，．证明：(1)与圆
切于点的直线和与圆切于点的直线平行；(2)
是圆与圆的公切线的充分必要条件是在直线上．
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7 . 如图，设四边形内接于圆，其边与
的延长线交于点，与的延长线交于点，由作该圆的两条切线
和
，切点分别为，，则，，三点共线．
内接于圆，其边与的延长线交于点，与的延长线交于点，由作该圆的两条切线和，切点分别为，，则，，三点共线．
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8 . 已知圆
是等边的外接圆，设圆与
外切且切点异于点、
、，点、、
在圆
上，且使得
、
、
与圆相切．证明：线段、、中的一线段的长短等于另两线段长度之和．
是等边的外接圆，设圆与外切且切点异于点、、，点、、在圆上，且使得、、与圆相切．证明：线段、、中的一线段的长短等于另两线段长度之和．
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9 . 如图，某圆分别与凸四边形的，两边相切于
，两点，与对角线相交于，两点．问应满足怎样的重要条件，使得存在另一圆过，两点，且分别与
，的延长线相切？证明你的结论．
的，两边相切于，两点，与对角线相交于，两点．问应满足怎样的重要条件，使得存在另一圆过，两点，且分别与，的延长线相切？证明你的结论．
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切
，
分别于
．
