1 . “完全数”是一类特殊的自然数,它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”需要用到函数,记函数,为的所有正因数之和.
(1)判断28是否为完全数,并说明理由.
(2)已知,若为质数,证明:为完全数.
(3)已知,求,的值.
(1)判断28是否为完全数,并说明理由.
(2)已知,若为质数,证明:为完全数.
(3)已知,求,的值.
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280次组卷
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2卷引用:河北省秦皇岛市青龙满族自治县第一中学2024届高三下学期5月模拟考试数学试题
2 . 对于整数除以某个正整数的问题,如果只关心余数的情况,就会产生同余的概念.关于同余的概念如下:用给定的正整数分别除整数,若所得的余数(小于正整数的自然数,即0,1,)相等,则称对模同余,记作.例如:因为,,所以;因为,所以.表示对模同余关系的式子叫做模的同余式,简称同余式,同余式的记号是高斯在1800年首创.两个同模的同余式也能够进行加法和减法运算,其运算规则如下:已知整数,正整数,若,则,.阅读上述材料,解决下列问题:
(1)若,且整数,求的值;
(2)已知整数,正整数,证明:若,则;
(3)若,其中为正整数,为非负整数,证明:能被11整除的充要条件为能被11整除.
(1)若,且整数,求的值;
(2)已知整数,正整数,证明:若,则;
(3)若,其中为正整数,为非负整数,证明:能被11整除的充要条件为能被11整除.
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3 . 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式:(为的质因数个数,为质数,),例如:,对应.现对任意,定义莫比乌斯函数
(1)求;
(2)若正整数互质,证明:;
(3)若且,记的所有真因数(除了1和以外的因数)依次为,证明:.
(1)求;
(2)若正整数互质,证明:;
(3)若且,记的所有真因数(除了1和以外的因数)依次为,证明:.
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2024-03-26更新
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1128次组卷
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4卷引用:湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题
湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题河南省南阳市西峡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期第一阶段学业质量联合调研抽测(4月)数学试题(已下线)压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总
解题方法
4 . 离散对数在密码学中有重要的应用.设是素数,集合,若,记为除以的余数,为除以的余数;设,两两不同,若,则称是以为底的离散对数,记为.
(1)若,求;
(2)对,记为除以的余数(当能被整除时,).证明:,其中;
(3)已知.对,令.证明:.
(1)若,求;
(2)对,记为除以的余数(当能被整除时,).证明:,其中;
(3)已知.对,令.证明:.
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2024-01-19更新
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6331次组卷
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8卷引用:2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题
2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题(已下线)2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题变式题16-192024年九省联考试卷分析及真题鉴赏(已下线)压轴题高等数学背景下新定义题(九省联考第19题模式)讲(已下线)微考点8-1 新高考新题型19题新定义题型精选(已下线)新题型02 新高考新结构竞赛题型十五大考点汇总-2(已下线)专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳(9大核心考点)(讲义)(已下线)专题8 考前押题大猜想36-40
名校
5 . “物不知数”是中国古代著名算题,原载于《孙子算经》卷下第二十六题:“今有物不知其数,三三数之剩二:五五数之剩三;七七数之剩二.问物几何?”问题的意思是,一个数被3除余2,被5除余3,被7除余2,那么这个数是多少?若一个数被除余,我们可以写作.它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术(也称作“中国剩余定理”)是中国古算中最有独创性的成就之一,现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序.中国剩余定理:假设整数,,…,两两互质,则对任意的整数:,,…,方程组一定有解,并且通解为,其中为任意整数,,,为整数,且满足.
(1)求出满足条件的最小正整数,并写出第个满足条件的正整数;
(2)在不超过4200的正整数中,求所有满足条件的数的和.(提示:可以用首尾进行相加).
(1)求出满足条件的最小正整数,并写出第个满足条件的正整数;
(2)在不超过4200的正整数中,求所有满足条件的数的和.(提示:可以用首尾进行相加).
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2024-02-23更新
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708次组卷
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4卷引用:贵州省毕节市金沙县部分学校2024届高三下学期高考模拟(六)数学试题
贵州省毕节市金沙县部分学校2024届高三下学期高考模拟(六)数学试题云南省昆明市第一中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期开学考试数学试题(已下线)压轴题高等数学背景下新定义题(九省联考第19题模式)练
名校
6 . 若一个两位正整数的个位数为4,则称为“好数”.
(1)求证:对任意“好数”一定为20的倍数;
(2)若,且为正整数,则称数对为“友好数对”,规定:,例如,称数对为“友好数对”,则,求小于70的“好数”中,所有“友好数对”的的最大值.
(1)求证:对任意“好数”一定为20的倍数;
(2)若,且为正整数,则称数对为“友好数对”,规定:,例如,称数对为“友好数对”,则,求小于70的“好数”中,所有“友好数对”的的最大值.
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2023-09-20更新
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2270次组卷
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6卷引用:江西省南昌市第二中学2024届高三上学期一模考后数学检测试题
7 . 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数(互质是公约数只有1的两个整数),例如:,.
(1)求,,;
(2)若数列满足,且,求数列的通项公式和前n项和.
(1)求,,;
(2)若数列满足,且,求数列的通项公式和前n项和.
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8 . 欧拉函数(n)(n∈)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数,例如:(1)=1,(4)=2.
(1)求,;
(2)令,求数列的前n项和.
(1)求,;
(2)令,求数列的前n项和.
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2023-03-03更新
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1654次组卷
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4卷引用:福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检)数学试题
福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检)数学试题专题13数列(解答题)福建省厦门外国语学校石狮分校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题(已下线)第六篇 数论 专题2 数论函数 微点3 数论函数综合训练
9 . 在数列,中,已知,,且,,成等差数列,,,也成等差数列.
求证:是等比数列;
设m是不超过100的正整数,求使成立的所有数对.
求证:是等比数列;
设m是不超过100的正整数,求使成立的所有数对.
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2016-12-03更新
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1150次组卷
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3卷引用:2015届江苏省淮安市高三第五次模拟考试数学试卷
2015届江苏省淮安市高三第五次模拟考试数学试卷【市级联考】江苏省常州市2019届高三上学期期中教学质量调研数学(文)试题(已下线)专题6.5 数列的综合问题(练)-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》