1 . 设p为素数，对任意的非负整数n，记
，
，其中
，如果非负整数n满足
能被p整除，则称n对p“协调”．
(1)分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；
(2)判断并证明在
，
，
，…，
这
个数中，有多少个数对p“协调”；
(3)计算前个对p“协调”的非负整数之和．
，，其中，如果非负整数n满足能被p整除，则称n对p“协调”．(1)分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；
(2)判断并证明在
，，，…，这个数中，有多少个数对p“协调”；(3)计算前
个对p“协调”的非负整数之和．
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2 . 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数
都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：
（
为的质因数个数，
为质数，
），例如：
，对应
．现对任意
，定义莫比乌斯函数
(1)求
；
(2)若正整数
互质，证明：
；
(3)若
且
，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为
，证明：
．
都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数 (1)求
；(2)若正整数
互质，证明：；(3)若
且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：．
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2024-03-26更新
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1204次组卷
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5卷引用：河南省南阳市西峡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷
河南省南阳市西峡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期第一阶段学业质量联合调研抽测（4月）数学试题湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题（已下线）压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总（已下线）【人教A版（2019）】高二下学期期末模拟测试A卷
名校
解题方法
3 . 设
，我们常用
来表示不超过
的最大整数.如：
.
(1)求证：
；
(2)解方程：
；
(3)已知
，若对
，使不等式
成立，求实数
的取值范围.
，我们常用来表示不超过的最大整数.如：.(1)求证：
；(2)解方程：
；(3)已知
，若对，使不等式成立，求实数的取值范围.
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2024-03-13更新
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557次组卷
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4卷引用：湖北省云学名校联盟2023-2024学年高一下学期3月联考数学试卷
名校
4 . 设a，b为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为
．
(1)求证：
；
(2)若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则
，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题：
①证明：对于任意整数x都有
；
②求方程
的正整数解的个数．
．(1)求证：
；(2)若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则
，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题：①证明：对于任意整数x都有
；②求方程
的正整数解的个数．
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2024-02-27更新
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788次组卷
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5卷引用：河北省沧州市泊头市大数据联考2024届高三下学期2月月考数学试题
河北省沧州市泊头市大数据联考2024届高三下学期2月月考数学试题河北省2024届高三下学期大数据应用调研联合测评（V）数学试题河北省秦皇岛市昌黎县开学联考2024届高三下学期开学考试数学试题（已下线）压轴题高等数学背景下新定义题(九省联考第19题模式）讲（已下线）新题型02 新高考新结构竞赛题型十五大考点汇总-2
5 . 设
.证明：若
是偶数，则n也是偶数.
.证明：若是偶数，则n也是偶数.
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名校
解题方法
6 . 已知关于
的方程
(1)当
，求方程两实数根差的绝对值；
(2)若方程的两个实数根的平方和等于11，求
的值.
的方程(1)当
，求方程两实数根差的绝对值；(2)若方程的两个实数根的平方和等于11，求
的值.
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7 . 已知关于的方程
有两个正整数根（
是整数）.
的三边
满足
.求：
(1)的值；
(2)的面积.
的方程有两个正整数根（是整数）.的三边满足.求：(1)
的值；(2)
的面积.
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2022-08-28更新
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192次组卷
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3卷引用：2023年新东方高一上数学05
名校
8 . 设等差数列
的前n项和为
，已知
.
（1）求数列的通项公式；
（2）若
､30､
成等差数列，､18､成等比数列，求正整数p､q的值；
（3）是否存在
，使得
为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.
的前n项和为，已知.（1）求数列
的通项公式；（2）若
､30､成等差数列，､18､成等比数列，求正整数p､q的值；（3）是否存在
，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.
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名校
解题方法
9 . 已知数列
是等差数列，数列
是等比数列，且
，
的前n项和为.若
对任意的
恒成立.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列
满足
问：是否存在正整数，使得
，若存在求出的值，若不存在，说明理由；
（3）若存在各项均为正整数､公差为
的无穷等差数列
，满足
，且存在正整数，使得
成等比数列，求的所有可能的值.
是等差数列，数列是等比数列，且，的前n项和为.若对任意的恒成立.（1）求数列
，的通项公式；（2）若数列
满足问：是否存在正整数，使得，若存在求出的值，若不存在，说明理由；（3）若存在各项均为正整数､公差为
的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使得成等比数列，求的所有可能的值.
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名校
10 . 设
是两两不同的实数，且满足
，求
所有可能的取值.
是两两不同的实数，且满足，求所有可能的取值.
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