名校
1 . 已知
，试求
的最大值．
，试求的最大值．
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2019-01-28更新
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586次组卷
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2卷引用：2018年全国高中数学联赛河南省预赛
2010高二·河南·竞赛
2 . 设
（
为常数且
），动点
、
分别在射线
、
上，使得
的面积恒为36．设的重心为
，点
在射线
上，且满足
．
（1）求
的最小值；
（2）求动点的轨迹方程．
（为常数且），动点、分别在射线、上，使得的面积恒为36．设的重心为，点在射线上，且满足．（1）求
的最小值；（2）求动点
的轨迹方程．
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2007高二·河南·竞赛
3 . 已知抛物线
及定点
，A、B是抛物线上的两动点，且
.过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
（1）证明：点M的纵坐标为定值.
（2）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有
?证明你的结论.
及定点，A、B是抛物线上的两动点，且.过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（1）证明：点M的纵坐标为定值.
（2）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有
?证明你的结论.
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2006高二·河南·竞赛
4 . 已知菱形
是椭圆
的内接四边形.
（1）求证：
为定值；
（2）求菱形面积的最值.
是椭圆的内接四边形.（1）求证：
为定值；（2）求菱形
面积的最值.
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2006高二·河南·竞赛
5 . 已知椭圆
及定点
，斜率为
的直线
经过点并与椭圆
交于不同的两点
、
，且对于椭圆上任意一点，都存在
，使得
成立.试求出满足条件的实数
的值.
及定点，斜率为的直线经过点并与椭圆交于不同的两点、 ，且对于椭圆上任意一点，都存在，使得成立.试求出满足条件的实数的值.
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2011高二·河南·竞赛
6 . 在平面直角坐标系
中，以原点
为圆心 ，分别以
为半径作两个圆.点是大圆半径
与小圆的交点 ，过点作
，垂足为
，过点作
，垂足为. 记当半径绕点旋转时，点的轨迹为曲线
.
（1）求曲线的方程；
（2）设
为曲线上的三点，且满足
，求
的面积.
中，以原点为圆心 ，分别以为半径作两个圆.点是大圆半径与小圆的交点 ，过点作，垂足为，过点作，垂足为. 记当半径绕点旋转时，点的轨迹为曲线.（1）求曲线
的方程；（2）设
为曲线上的三点，且满足，求的面积.
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2004高三·河南·竞赛
7 . 在非
中，边长
、
、
满足
.
（1）证明：
.（可能运用的公式有
.）
（2）是否存在函数
，使得对于一切满足条件的
，代数式
的值恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由.
中，边长、、满足.（1）证明：
.（可能运用的公式有.）（2）是否存在函数
，使得对于一切满足条件的，代数式的值恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由.
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8 . 如图 ，在平面直角坐标系中， 长度为 6的线段 
的一个端点在射线
上 滑 动 ， 另 一 个 端 点 在 射 线
上滑动， 点 在线段 上 ， 且 P
.
（1）求点 的轨迹方程;
（2）若点的轨迹与
轴 、
轴分别交于点 、， 求四边形
面积的最大值（其中 是坐标原点）.
的一个端点在射线上 滑 动 ， 另 一 个 端 点 在 射 线上滑动， 点 在线段 上 ， 且 P.（1）求点
的轨迹方程;（2）若点
的轨迹与轴 、轴分别交于点 、， 求四边形面积的最大值（其中 是坐标原点）.
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9 . 已知抛物线C：
与直线l：
没有公共点，P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A、B为切点.
（1）证明：直线AB恒过定点Q；
（2）若点P与Q的连线与抛物线C交于M、N两点，证明：
.
与直线l：没有公共点，P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A、B为切点.（1）证明：直线AB恒过定点Q；
（2）若点P与Q的连线与抛物线C交于M、N两点，证明：
.
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2013高三·河南·竞赛
10 . 已知
为三内角，向量
，
.若当
最大时，存在动点M，使得
成等差数列，求
的最大值.
为三内角，向量，.若当最大时，存在动点M，使得成等差数列，求的最大值.
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