1 . 设椭圆
，
，过原点
引射线分别与椭圆
、
交于点
、
，
为线段
上一点.
（1）求证：
、
、
成等比数列的充要条件点的轨迹方程为
.
（2）试利用合情推理，将（1）的结论类比到双曲线得出相应的正确结论（不要求证明）.
，，过原点引射线分别与椭圆、交于点、，为线段上一点.（1）求证：
、、成等比数列的充要条件点的轨迹方程为.（2）试利用合情推理，将（1）的结论类比到双曲线得出相应的正确结论（不要求证明）.
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2 . 已知椭圆
，过中心作两条互相垂直的弦
和
，设点、的离心角分别为
、
.求证： 
.
，过中心作两条互相垂直的弦和，设点、的离心角分别为、.求证： .
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3 . 以
的边
为实轴的双曲线交此三角形的另两边、的延长线于
、
.过点、分别作该双曲线的切线，两切线交于点.求证：
.
的边为实轴的双曲线交此三角形的另两边、的延长线于、.过点、分别作该双曲线的切线，两切线交于点.求证：.
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4 . 设锐角
满足
.令
，且令
，
、
为任意正实数.证明：
.
满足.令，且令，、为任意正实数.证明：.
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5 . 已知动点
在椭圆
的内部，过作椭圆的弦.证明：
、
中必有一个不超过
.
在椭圆的内部，过作椭圆的弦.证明：、中必有一个不超过.
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6 . 如图,CD为椭圆
的一条直径,过椭圆长轴的左顶点A作CD的平行线,与椭圆交于另一点N,与椭圆短轴所在直线交于点M.证明: 
.
的一条直径,过椭圆长轴的左顶点A作CD的平行线,与椭圆交于另一点N,与椭圆短轴所在直线交于点M.证明: .
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