1 . 已知函数，试根据下列要求研究函数的性质.
（1）求证：函数是偶函数；
（2）求证：是函数的一个周期；
（3）写出函数的单调区间（不必证明），并求函数的最值.

2 . 已知函数.
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)求证：当时，恒有.

3 . 定义运算：，函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求的单调递减区间；
（3）将函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到函数的图像，证明；存在无穷多个整数，使得．

4 . 已知函数.
（1）若的最小正周期为，求的单调递增区间；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，，证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得.

5 . 如图，函数的图像过点.

（1）求证：，并写出的解析式；
（2）指出函数的单调增区间；
（3）解方程.

6 . 设定义域为R的函数（其中意指的正弦值） .
（1）请指出该函数的零点、最大（小）值；
（2）类比“五点作图法”作出该函数在区间上的大致图像；
（3）请指出该函数的奇偶性、单调区间和周期性（不必证明）.

7 . 已知函数.
（1）定义的导函数为，的导函数为，，以此类推，若，求函数的单调区间；
（2）若，，证明：.

8 . 已知函数，函数为奇函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，证明：当时，.

9 . 已知函数，.
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求证：当时，.

10 . 在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:
具体过程如下：
如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以为始边作角.它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.

则
由向量数量积的坐标表示，有：

设的夹角为θ，则

另一方面，由图3.1—3（1）可知，；由图可知，

.于是.
所以，也有，
所以，对于任意角有：（）
此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.
有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了.
阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：
（1）判断是否正确？（不需要证明）
（2）证明：
（3）利用以上结论求函数的单调区间.