1 . 抽屉原则是德国数学家狄利克雷（P.G.T.Dirichlet，1805~1859）首先提出来的，也称狄利克雷原则. 它有以下几个基本表现形式（下面各形式中所涉及的字母均为正整数）：
形式1：把个元素分为个集合，那么必有一集合中含有两个或两个以上的元素.
形式2：把个元素分为个集合，那么必有一集合中含有个或个以上的元素.
形式3：把无穷多个元素分为有限个集合，那么必有一个集合中含有无穷多个元素.
形式4：把个元素分为个集合，那么必有一个集合中的元素个数，也必有一个集合中的元素个数.（注：若，则表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数）. 根据上述原则形式解决下面问题：
(1)①举例说明形式1；
②举例说明形式3，并用列举法或描述法表示相关集合.
(2)证明形式2；
(3)圆周上有2024个点，在其上任意标上（每点只标一个数，不同的点标上不同的数）.
①从上面这2024个数中任意挑选1013个数，证明在这1013个数中一定有两个数互质；（若两个整数的公约数只有1，则这两个整数互质）
②证明：在上面的圆周上一定存在一点和与它相邻的两个点所标的三个数之和不小于3038.

2 . 定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和.

3 . 如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集，且满足，那么称子集组构成集合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（     ）

A．7个

B．9个

C．10个

D．14个

4 . 已知集合满足，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则中的元素的个数为1

B．若，则中的元素的个数为15

C．若，则中的元素的个数为45

D．若，则中的元素的个数为78

5 . 对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．，；
II．，；
Ⅲ．，，；
Ⅳ．，，．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群．

   

(1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．

6 . 设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数
(1)已知集合，集合，分别求解．
(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”
①求的最大值（无需证明）．
②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和．

7 . 已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
(3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.

8 . 德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为（       ）

A．8

B．16

C．32

D．64

9 . 对于数集，，它们的Descartes积，则（       ）

A．	B．若，则
C．	D．集合表示轴所在直线
E．集合表示正方形区域（含边界）

10 . 已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的．
(1)设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？
(2)设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论．