1 . 某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（       ）
参考公式：

A．抽取的样本里男生有60人

B．每一位学生被抽中的可能性为

C．估计该学校学生身高的平均值为170

D．估计该学校学生身高的方差为236

2 . 欧拉函数表示不大于正整数且与互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.已知，其中，，…，是的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如.若数列是首项为3，公比为2的等比数列，则______.

3 . 2024年3月20日8时31分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，为嫦娥四号、嫦娥六号等任务提供地月间中继通信，使我国探月工程进入新阶段.为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动.经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮.在最后一轮比赛中，有A，两道问题.其中问题A为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答.已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响.
(1)求问题A被回答正确的概率；
(2)记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望.

4 . 下列说法中正确的有（       ）

A．已知，则“”的必要不充分条件是“”

B．函数的最小值为2

C．集合A，B是实数集R的子集，若，则B.

D．若集合，则满足⫋⫋的集合A有2个

5 . 随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表．

	回答正确	回答错误
问题中存在语法错误	100	300
问题中没有语法错误	500	100

结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题．
(1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；
(2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列与数学期望．

6 . 如图，是南京博物馆展示的一件名为“陶三棱锥”的文物，该文物的出土，为研究吴越文化提供了重要价值，博物馆准备为该文物制作一个透明的球形玻璃外罩进行保护供游客观赏研究，经测量该文物的所有棱长都为分米，则制作的球形玻璃外罩（玻璃外罩厚度忽略不计）的直径至少为____________分米．

7 . 2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（       ）

A．18

B．36

C．54

D．72

8 . 已知抛物线的焦点为，，，为上不重合的三点.
(1)若，求的值；
(2)过，两点分别作的切线，，与相交于点，过，两点分别作，的垂线，，与相交于点.
（i）若，求面积的最大值；
（ii）若直线过点，求点的轨迹方程.

9 . 已知为圆上的动点，点满足，记的轨迹为，则下列说法错误的是（       ）

A．轨迹是一个半径为3的圆

B．圆与轨迹有两个交点

C．过点作圆的切线，有两条切线，且两切点的距离为

D．点为直线上的动点，则PB的最小值为

10 . 高一（1）班每周举行历史擂台比赛，排名前2名的同学组成守擂者组，下周由3位同学组成攻擂者组挑战，共答20题，若每位守擂者答出每道题的概率为，每位攻擂者答出每道题的概率为.为提高攻擂者的积极性，第一题由攻擂者先答，若未答对，再由守擂者答；剩下的题抢答，抢到的组回答，只要有一人答出，即为答对，记为1分，否则为0分.
(1)求攻擂者组每道题答对的概率及守擂者组第1题后得分为0分的概率；
(2)设为3题后守擂者的得分，求的分布列与数学期望.