1 . 给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则___________.
   

2 . 一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为.若“倍和数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”的最大值与最小值的差为______.

3 . 如图，在锐角的边和上各取一点和，四边形的两条对角线相于点．和的垂心分别为，．证明：如果直线经过和的外接圆的交点，那么它必定经过和的外接圆的交点．

4 . 已知下底边为（即，且）的题型内接于．是在直线上移动的点，且使得不与相似．以为直径的圆交于点，记与交于点，是与的交点（）．求证：直线通过一定点．

5 . 在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个学生至少做对一题.在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；只解出甲题的人数比余下的学生中解出甲题的学生人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学只解出乙题？

6 . 某学校有如图所示的一块荒地，其中，，，，，经规划以AB为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB为直径的半圆弧上取两点，现规划在区域安装健身器材，在区域设置乒乓球场，若，且使四边形的面积最大，则______．

   

7 . 已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（       ）

A．的面积的最大值为

B．直线被圆截得的弦长的最小值为

C．有且仅有一个点，使得为等边三角形

D．有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线

8 . 已知抛物线的焦点为是抛物线上的两点，则下列说法中正确的是：（          ）

A．若线段的中点为，则直线的方程为

B．若线段过焦点，且，则直线的斜率为

C．已知为抛物线上在第一象限内的一个动点，，若，则直线的斜率为

D．抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值为

9 . 证明：当时，一元一次同余方程必有解，且其解数为1．

10 . 求证：为任意整数．