1 . 已知函数，其中为自然对数底数.
（1）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；
（2）已知，若函数对任意都成立，求的最大值.

2 . 如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知圆O：x²＋y²＝4，椭圆C：＋y²＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D(－，0).设直线AB，AC的斜率分别为k₁，k₂.

(1) 求k₁k₂的值；
(2) 记直线PQ，BC的斜率分别为k_PQ，k_BC，是否存在常数λ，使得k_PQ＝λk_BC？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；
(3) 求证：直线AC必过点Q.

3 . 如图，椭圆：的右焦点为，右顶点、上顶点分别为点，
已知椭圆的焦距为，且.

（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线交椭圆于两点，当面积取得最大时，求直线的方程.

4 . 已知函数，，（）.
（1）讨论函数在上零点的个数；
（2）若有两个不同的零点，，求证：.
（参考数据：取，取，取）

5 . 为宣传平潭综合试验区的“国际旅游岛”建设，试验区某旅游部门开发了一种旅游纪念产品，每件产品的成本是12元，销售价是16元，月平均销售件．后该旅游部门通过改进工艺，在保证产品成本不变的基础上，产品的质量和技术含金量提高，于是准备将产品的售价提高．经市场分析，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.
（1）写出与的函数关系式；
（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使该旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

6 . 设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点．
(1)求常数的值；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：对于任意的正整数，不等式恒成立.

7 . 已知函数，其中．
(1)若，求证：当时，成立；
(2)若 ，判断函数的零点的个数．

8 . 已知函数，若曲线上存在两点，这两点关于直线的对称点都在曲线上，则实数的取值范围是

A．

B．

C．

D．

9 . 函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若且满足：对，，都有，试比较与的大小，并证明.

10 . 已知函数为的导函数.
（Ⅰ）令求的单调区间；
（Ⅱ）证明：