1 . 已知函数
，
．
(1)若函数
的最小值与
的最小值之和为
，求
的值．
(2)若
，
，证明：
．
，．(1)若函数
的最小值与的最小值之和为，求的值．(2)若
，，证明：．
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2 . 已知
满足：①
是图象上任意不同的两点，且直线
的斜率恒小于1；②存在
及无数个
使得
，则
的取值范围是（ ）
满足：①是图象上任意不同的两点，且直线的斜率恒小于1；②存在及无数个使得，则的取值范围是（ ）A． | B． | C． | D． |
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3 . 已知函数
.
(1)若
，讨论的单调性；
(2)已知存在
，使得
在
上恒成立，若方程
有解，求实数
的取值范围.
.(1)若
，讨论的单调性；(2)已知存在
，使得在上恒成立，若方程有解，求实数的取值范围.
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4 . 三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角
的顶点为
，在的两边上截取
，连接
，在线段上取一点
，使得
，记
的中点为
，以为中心，
为顶点作离心率为2的双曲线
，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点
（射线
在
内部），则
.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若
，点在轴的上方.的方程；
(2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点
，点到直线
的距离为
.
证明：①
为定值；
②.
的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.
的方程；(2)若过点
且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.证明：①
为定值；②
.
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
5 . 已知双曲线C：
的一条渐近线与直线
平行，且双曲线焦距为
.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点
，
，过点B且斜率不为0的直线与C交于M，N两点(与点A不重合)，直线
分别与直线
交于点P，Q，求
的值．
的一条渐近线与直线平行，且双曲线焦距为.(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点
，，过点B且斜率不为0的直线与C交于M，N两点(与点A不重合)，直线分别与直线交于点P，Q，求的值．
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6 . 已知数列
的各项均为正整数，设集合
，记T的元素个数为
．
(1)若数列
，且
，
，求数列
和集合T；
(2)若是递增的等差数列，求证：
；
(3)请你判断是否存在最大值，并说明理由
的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．(1)若数列
，且，，求数列和集合T；(2)若
是递增的等差数列，求证：；(3)请你判断
是否存在最大值，并说明理由
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解题方法
7 . 已知双曲线
的焦距为
，点
在
上.
(1)求的方程;
(2)直线
与的右支交于，
两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为点.
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）求证：直线
过点.
的焦距为，点在上.(1)求
的方程;(2)直线
与的右支交于，两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为点.（ⅰ）求
的取值范围；（ⅱ）求证：直线
过点.
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8 . 已知正方形
的四个顶点均在函数
的图象上，若
两点的横坐标分别为
，则
________ ．
的四个顶点均在函数的图象上，若两点的横坐标分别为，则
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9 . 椭圆
的离心率为
，左、右顶点分别为
，
，左、右焦点分别为
，
，上顶点为B，
的外接圆半径为
．
(2)如图，斜率存在的动直线与椭圆C交于P，Q两点（P、Q位于x轴的两侧）、直线
，
，
，
的斜率分别为
，
，
，
，且
，求
面积的取值范围．
的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，上顶点为B，的外接圆半径为．
(2)如图，斜率存在的动直线与椭圆C交于P，Q两点（P、Q位于x轴的两侧）、直线
，，，的斜率分别为，，，，且，求面积的取值范围．
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10 . 对于函数
，若存在实数
，使
，其中
，则称为“可移
倒数函数”，为“的可移倒数点”．已知
．
(1)设
，若
为“
的可移
倒数点”，求函数
的单调区间；
(2)设
，若函数
恰有3个“可移1倒数点”，求的取值范围．
，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”．已知．(1)设
，若为“的可移倒数点”，求函数的单调区间；(2)设
，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求的取值范围．
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