2 . 已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．

4 . 设A为非空集合，令，则的任意子集R都叫做从A到A的一个关系(Relation)，简称A上的关系．例如时，{0，2}，，，{(0，0)，(2，1)}等都是A上的关系．设R为非空集合A上的关系．给出如下定义：
①(自反性)若，有，则称R在A上是自反的；
②(对称性)若，有，则称R在A上是对称的；
③(传递性)若，有，则称R在A上是传递的；
如果R同时满足这3条性质，则称R为A上的等价关系．
(1)已知，按要求填空：
①用列举法写出______________________；
②A上的关系有____________个(用数值做答)；
③用列举法写出A上的所有等价关系：{(0，0)，(1，1)，(2，2)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，2)，(2，0)}，_______________，_______________，共5个．
(2)设和是某个非空集合A上的关系，证明：
①若，是自反的和对称的，则也是自反的和对称的；
②若，是传递的，则也是传递的．
(3)若给定的集合A有n个元素()，，，．．．，为A的非空子集，满足且两两交集为空集．求证：为A上的等价关系．

5 . 已知函数.
（1）求证：当时，；
（2）设斜率为的直线与曲线交于两点，证明：.

6 . 设函数的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质.
（1）判断函数和具有性质？(结论不要求证明)
（2）若函数具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值；
（3）若函数具有性质，且直线为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数.

7 . 设函数的定义域为R．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质.记P为满足性质的所有函数的集合.
（I）判断函数和是否属于集合P？（结论不要求证明）
（II）若函数，证明：;
（III）记二次函数的全体为集合，证明：.

8 . 已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，①方程有实数根；②函数的导数满足.
（1）判断函数是集合M中的元素，并说明理由；
（2）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立.试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；
（3）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，，，当，且时，.

9 . 对于正整数集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.
（1）判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）；
（2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；
（3）若集合是“可分集合”.
①证明：为奇数；
②求集合中元素个数的最小值.

10 . 一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列的前项和为，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于的项的和为．
（Ⅰ）求和；
(Ⅱ)判断和的大小，不用证明；
（Ⅲ）设，求证：，，使得．