1 . 定义在上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数.
(1)判断是否为的相关函数，并说明理由；
(2)若为的相关函数，证明：为奇函数；
(3)在（2）的条件下，如果，，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由.

2 . 设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”.
(1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由;
(2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由.
(3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有.

3 . 已知函数的定义域为，且的图象连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质．
(1)已知函数，判断是否具有性质，并说明理由；
(2)求证：任取，函数，具有性质；
(3)已知函数，，若具有性质，求的取值范围．

4 . 已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)证明：函数在上是增函数；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

5 . 已知是定义在上的奇函数，且
（1）求的解析式；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）求使不等式成立的实数的取值范围.

6 . 已知是定义在上的奇函数,且,若a,,时,有成立．
(1)判断在上的单调性,并用定义证明；
(2)解不等式：；
(3)若对所有的,以及所有的恒成立,求实数的取值范围．

7 . 已知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）写出的单调递增区间，并用定义证明．

8 . 数列的前项和为，且
（1）求；（2）证明：数列是等比数列，并求.