1 . 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：，设的前项的和为，求证：.

2 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的上顶点和右焦点，的面积为，直线与椭圆交于另一个点，线段的中点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，且与直线交于点，求证：存在常数，使得.

3 . 设抛物线的顶点到焦点的距离为1.
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点的直线分别与抛物线交于，两点(不同于点)，以为直径的圆恰好经过点，证明：直线经过定点，并求出该定点坐标.

4 . 已知数列的前n项和为，满足，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设，记数列的前n项和为，求满足不等式的最小正整数n的值．

5 . 给出以下三个条件：①，，成等差数列；②对于，点均在函数的图象上，其中为常数；③．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设是一个公比为的等比数列，且它的首项，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，证明数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

6 . 在数列中，，，.
（1）证明为等比数列；
（2）求.

7 . 已知数列的前项和为，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）已知曲线若为椭圆，求的值；

8 . 如图所示的四棱锥中，底面为矩形，平面，，M，N分别是，的中点.

（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

9 . 已知等差数列的前n项和，，，，数列的前n项和， ．
（1）证明：是等比数列，并求；
（2）求数列的前n项和．

10 . 已知数列与满足，且，，且.
（1）设，，求，并证明：数列是等比数列；
（2）设为的前n项和，求.