名校
解题方法
1 . 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数,例如将
化为分数是这样计算的:设
,则
,即
,解得
.
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法,这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为
,乙获胜的概率为
,每局比赛的结果互不影响.规定:净胜
局指的是一方比另一方多胜
局.
(1)如果约定先获得净胜两局者获胜,求恰好4局结束比赛的概率;
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜,那么在比赛过程中,甲可能净胜
局.设甲在净胜
局时,继续比赛甲获胜的概率为
,比赛结束(甲、乙有一方先净胜三局)时需进行的局数为
,期望为
.
①求甲获胜的概率
;
②求
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f522d1f7a4158bbb09355fcf2ebe1748.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8567750e1eb0471c3942c1456cdf2299.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b0fae7b60887e1ae9ff3f6b2b959762e.png)
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法,这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
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(1)如果约定先获得净胜两局者获胜,求恰好4局结束比赛的概率;
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜,那么在比赛过程中,甲可能净胜
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/56b678dec65a0ca8006cc6828d8cb501.png)
①求甲获胜的概率
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf9f50605db5d5f8f3a01ee8e474a112.png)
②求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7fc8a872d7b16187634e8db2571c8cbe.png)
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2024-06-09更新
|
1271次组卷
|
2卷引用:山东省泰安第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
名校
2 . 设有甲、乙两个盒子,均分别装有编号依次为1,2,3,…n(
,且
)的n个球,学生
从甲盒子中随机选取
个球,学生
从乙盒子中随机选取
个球,其中
,且
.
(1)若
,且A在编号为1到m(m为给定的正整数,且
)的球中选取,B在编号为
到n的球中选取.记
是编号为u的球和编号为v的球同时被选中的概率.
①若
,求
的值;
②求所有的
的和;
(2)求学生
取到的球的编号不相同的概率.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7600d2cfbdc6146db96cc545706004f6.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5d6d99dfbc36d9be71895dfdb732f321.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b19c57cfa9b48005549163191246fe9e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fa49f362f32e992f53341d6374140e37.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0623207595425920f16e76a7f8f268b6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/993f4303eb1dc02447ae807127c4b86f.png)
①若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac01b30a1e66795b4a43d7afd57829fb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b920476a1d9bbd4f5ae785891cdf81fb.png)
②求所有的
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6042caba179e3ed5f55793bc33d828a9.png)
(2)求学生
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/01c74a907dda6bb7d9d56d009d9df253.png)
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3 . 2023年10月7日,杭州第19届亚运会女子排球中国队以3:0战胜日本队夺得冠军,这也是中国女排第9个亚运冠军,她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神,某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞,组建了一支女子排球队,其中主攻手2人,副攻手2人,接应手1人,二传手1人,自由人1人.现从这7人中随机抽取3人参与传球训练
(1)求抽到甲参与传球训练的概率;
(2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为
,求
的分布列及期望;
(3)若恰好抽到甲,乙,丙3人参与传球训练,先从甲开始,甲传给乙、丙的概率均为
,当乙接到球时,乙传给甲、丙的概率分别为
,当丙接到球时,丙传给甲、乙的概率分别为
,假设球一直没有掉地上,求经过n次传球后甲接到球的概率.
(1)求抽到甲参与传球训练的概率;
(2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
(3)若恰好抽到甲,乙,丙3人参与传球训练,先从甲开始,甲传给乙、丙的概率均为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f89eef3148f2d4d09379767b4af69132.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d0d02b811bb9c27723442c470a4bcd6e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d0d02b811bb9c27723442c470a4bcd6e.png)
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4 . 现需要抽取甲、乙两个箱子的商品,检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品;乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子,再从该箱中等可能抽出一个商品,称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子,再进行二次检验,若两次检验都为正品,则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为
.
(1)求首次检验抽到合格产品的概率;
(2)在首次检验抽到合格产品的条件下,求首次检验选到的箱子为甲箱的概率;
(3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子,继续进行二次检验时有如下两种方案:方案一,从首次检验选到的箱子中抽取;方案二,从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案,哪个方案检验通过的概率大.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f89eef3148f2d4d09379767b4af69132.png)
(1)求首次检验抽到合格产品的概率;
(2)在首次检验抽到合格产品的条件下,求首次检验选到的箱子为甲箱的概率;
(3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子,继续进行二次检验时有如下两种方案:方案一,从首次检验选到的箱子中抽取;方案二,从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案,哪个方案检验通过的概率大.
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解题方法
5 . 短视频已成为当下宣传的重要手段,东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度,为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关,该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知,南方游客有300人,因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.
(1)依据调查数据完成如下列联表,根据小概率值
的独立性检验,分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联:单位:人
(2)为了增加游客的旅游乐趣,该景点设置一款5人传球游戏,每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一,现有甲、乙等5人参加此游戏,球首先由甲传出.
(i)求经过
次传递后球回到甲的概率;
(ii)记前
次传递中球传到乙的次数为
,求
的数学期望.
参考公式:
,其中
;![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bb95a9c95da5e03d680ac7bc601120c0.png)
附表:
(1)依据调查数据完成如下列联表,根据小概率值
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83caa0ad94044a1e206b1cc0b3f85080.png)
游客 | 短视频 | 合计 | |
收看 | 未看 | ||
南方游客 | |||
北方游客 | |||
合计 |
(i)求经过
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c05b9832b09731a574d4a4adf7448de.png)
(ii)记前
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
参考公式:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f503f0dec4cf2cc95ad9521c5eaf9f18.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/356b05e46b10ee51c3e43546d73ec96c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bb95a9c95da5e03d680ac7bc601120c0.png)
附表:
![]() | 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
![]() | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2024·全国·模拟预测
6 . 某地脐橙,因“果皮中厚、脆而易剥,肉质细嫩化渣、无核少络,酸甜适度,汁多爽口,余味清香”而闻名.为了防止返贫,巩固脱贫攻坚成果,各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准:果径
为一级果,果径![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/67bceb34debe3db5ca23a0aaffc77db6.png)
为二级果,果径
或
以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个,测量这些脐橙的果径(单位:
),得到如图所示的频率分布直方图.
(2)在这1000个脐橙中,按分层抽样的方法在果径
中抽出9个脐橙,为进一步测量其他指标,在抽取的9个脐橙中再抽出3个,求抽到的一级果个数
的分布列和数学期望;
(3)以样本估计总体,用频率代替概率,某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个,其中一级果的个数为
,记一级果的个数为
的概率为
,写出
的表达式,并求出当
为何值时,
最大?
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9792455ae33128095b8def08f427a1ea.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/67bceb34debe3db5ca23a0aaffc77db6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bbebf292ad30fa3b21a92b61eb68fd97.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/334b3b5d7bd0a1acec1ee99ea5e99591.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c60f5f46fac953c9453d426ad69bb645.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/21f3bf70722b22983c120d008d097602.png)
(2)在这1000个脐橙中,按分层抽样的方法在果径
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/68cc8479999c0cd1485ffab6192ddedf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(3)以样本估计总体,用频率代替概率,某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个,其中一级果的个数为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a829fdd8ec0f3b7ede883cf2c3e53b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5d52452de888313d9ddb6db0e108560d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5d52452de888313d9ddb6db0e108560d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5d52452de888313d9ddb6db0e108560d.png)
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名校
解题方法
7 . 在某抽奖活动中,初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球,颜色为2白1红.每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下:设定抽中红球为中奖,抽中白球为未中奖;若抽到白球,放回后把袋中的一个白色小球替换为红色;若抽到红球,放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态.记第n次抽奖中奖的概率为
.
(1)求
,
;
(2)若存在实数a,b,c,对任意的不小于4的正整数n,都有
,试确定a,b,c的值,并证明上述递推公式;
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章,则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少?
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf83e20035c3afd6d26ebfd53d768a70.png)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b9cb8e6ff801523b0304576cd69fd2d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/797e67927616b141ed7c6b83f8b6f4fb.png)
(2)若存在实数a,b,c,对任意的不小于4的正整数n,都有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9f7a0cdf4919f3a61788a57487780bfe.png)
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章,则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少?
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2024-04-19更新
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847次组卷
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4卷引用:江苏省南京市南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
名校
8 . 甲、乙两人进行知识问答比赛,共有
道抢答题,甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为
和
,各题答题相互独立.规则为:初始双方均为0分,答对一题得1分,答错一题得﹣1分,未抢到题得0分,最后累计总分多的人获胜.
(1)若
,
,求甲获胜的概率;
(2)若
,设甲第
题的得分为随机变量
,一次比赛中得到
的一组观测值
,如下表.现利用统计方法来估计
的值:
①设随机变量
,若以观测值
的均值
作为
的数学期望,请以此求出
的估计值
;
②设随机变量
取到观测值
的概率为
,即![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/db6d1a2a6340864352cd68261b26c682.png)
;在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大,随着
的变化,用使得
达到最大时
的取值
作为参数
的一个估计值.求
.
表1:甲得分的一组观测值.
附:若随机变量
,
的期望
,
都存在,则
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4dac452fbb5ef6dd653e7fbbef639484.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be604061cf1591f7069472269d4c9719.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f970f380a12c843bb4a74ff34a15b2ac.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fafbc94594b8c877de8883dea10e374c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c05b9832b09731a574d4a4adf7448de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6f95e54a9b7c66c97dc6ee6161a25c0e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6f95e54a9b7c66c97dc6ee6161a25c0e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1c69656b7a5085c9033cfb16a838c0a5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
①设随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d88738de257f3fdf71154ebc8d4c1d14.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1c69656b7a5085c9033cfb16a838c0a5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bfbe7f95b5d89f9409ec24536da9e826.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/80746e5e22851a0f1075374a3c3280ad.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c9383b6387e1a94d4929663769ab5ab7.png)
②设随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6f95e54a9b7c66c97dc6ee6161a25c0e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1c69656b7a5085c9033cfb16a838c0a5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/db6d1a2a6340864352cd68261b26c682.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/db6d1a2a6340864352cd68261b26c682.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/927068f621940e6731e02a0db41060bf.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e58b2b4120cd1e093a9b3052779d5a73.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e58b2b4120cd1e093a9b3052779d5a73.png)
题目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
得分 | 1 | 0 | 0 | ﹣1 | 1 | 1 | ﹣1 | 0 | 0 | 0 |
题目 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
得分 | ﹣1 | 0 | 1 | 1 | ﹣1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
附:若随机变量
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2024-04-19更新
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2733次组卷
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8卷引用:江苏省苏州实验中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
江苏省苏州实验中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题(已下线)专题03 第七章 随机变量及其分布列--高二期末考点大串讲(人教A版2019)浙江省天域全国名校协作体2023-2024学年高三二模数学试题山东省青岛第二中学2024届高三下学期二模考试数学试题(已下线)数学(江苏专用02)河北省重点高中2024届高三下学期5月模拟考试数学试题(一)(已下线)模块4 二模重组卷 第6套 全真模拟卷广东省广州市执信中学2024届高三下学期教学情况检测(三)数学试题
解题方法
9 . 入冬以来,东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”.南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天,这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情,还有东北的洗浴中心,拥挤程度堪比春运,南方游客直接拉着行李箱进入.东北某城市洗浴中心花式宠“且”,为给顾客更好的体验,推出了
和
两个套餐服务,顾客可自由选择
和
两个套餐之一,并在App平台上推出了优惠券活动,下表是该洗浴中心在App平台10天销售优惠券情况.
经计算可得:
,
,
.
(1)因为优惠券购买火爆,App平台在第10天时系统出现异常,导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少,现剔除第10天数据,求
关于
的经验回归方程(结果中的数值用分数表示);
(2)若购买优惠券的顾客选择
套餐的概率为
,选择
套餐的概率为
,并且
套餐可以用一张优惠券,
套餐可以用两张优惠券,记App平台累计销售优惠券为
张的概率为
,求
;
(3)记(2)中所得概率
的值构成数列
.
①求
的最值;
②数列收敛的定义:已知数列
,若对于任意给定的正数
,总存在正整数
,使得当
时,
,(
是一个确定的实数),则称数列
收敛于
.根据数列收敛的定义证明数列
收敛.
参考公式:
,
.
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日期![]() | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
销售量![]() | 1.9 | 1.98 | 2.2 | 2.36 | 2.43 | 2.59 | 2.68 | 2.76 | 2.7 | 0.4 |
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(1)因为优惠券购买火爆,App平台在第10天时系统出现异常,导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少,现剔除第10天数据,求
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(2)若购买优惠券的顾客选择
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(3)记(2)中所得概率
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①求
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②数列收敛的定义:已知数列
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参考公式:
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2024-04-17更新
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1693次组卷
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4卷引用:江西省宜春市丰城市第九中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
江西省宜春市丰城市第九中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题(已下线)专题03 第七章 随机变量及其分布列--高二期末考点大串讲(人教A版2019)东北三省四市教研联合体2024届高考模拟(一)数学试卷东北三省四城市联考暨沈阳市2024届高三下学期数学质量检测(二)
名校
解题方法
10 . 某校开展科普知识团队接力闯关活动,该活动共有两关,每个团队由
位成员组成,成员按预先安排的顺序依次上场,具体规则如下:若某成员第一关闯关成功,则该成员继续闯第二关,否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关;若某成员第二关闯关成功,则该团队接力闯关活动结束,否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关;当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关,该团队接力闯关活动结束.已知
团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为
和
,且每位成员闯关是否成功互不影响,每关结果也互不影响.
(1)若
,用
表示
团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数,求
的均值;
(2)记
团队第
位成员上场且闯过第二关的概率为
,集合
中元素的最小值为
,规定团队人数
,求
.
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(1)若
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(2)记
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2024-04-07更新
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3436次组卷
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2卷引用:重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期第一阶段学业质量联合调研抽测(4月)数学试题