1 . 已知双曲线的离心率为，虚轴长为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：的面积为定值．

2 . 已知函数，．
(1)求的单调区间；
(2)若对于正实数，满足．
（i）证明：；
（ii）证明：．

3 . 已知函数
(1)求的极值；
(2)当，时，证明：.

4 . 已知函数，．
(1)求证：当，；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围．

5 . 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，且顶点到渐近线的距离为，点是双曲线右支上一动点（不与重合），且满足，的斜率之积为.
(1)求双曲线的方程.
(2)过点的直线与双曲线交于轴上方的，两点，若是线段的中点，是线段上一点，且，为坐标原点，试判断直线，的斜率之积是否为定值．若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

6 . 已知椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线交椭圆于P，Q（不与重合）两点，直线AP，AQ分别交x轴于点M，N，求证：.

7 . 已知椭圆的左、右顶点分别为、，点、是椭圆上异于、的两点．
(1)求直线、的斜率之积；
(2)记椭圆的上、下顶点分别为、，以原点为圆心，为半径的圆与四边形的四条边均相切，点在圆上，若直线过点且与圆相切，求证：．

8 . 已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)对任意的，都有，求a的取值范围．

9 . 已知椭圆的离心率，且椭圆四个顶点围成的四边形面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线被椭圆截得的弦分别为，．求四边形面积的取值范围．

10 . 设函数．
(1)若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；
(2)若不等式恒成立，证明：．