1 . 已知函数.
(1)若，判断在上的单调性，并说明理由；
(2)当，探究在上的极值点个数.

2 . 已知函数（其中为实数）．
(1)若，证明：；
(2)探究在上的极值点个数．

3 . 椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.
   
(1)求椭圆的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.

4 . 已知函数，.
(1)求证：；
(2)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围.

5 . 已知函数，．
(1)若是R上的减函数，求实数a的取值范围；
(2)若有两个极值点，其中，求证：．

6 . 已知椭圆经过，两点，，是椭圆上异于的两动点，且，若直线，的斜率均存在，并分别记为，.
(1)求证：为常数；
(2)求面积的最大值.

7 . 已知函数，其中，．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，函数恰有两个零点，求a的取值范围．

8 . 已知函数.
(1)若函数的导函数为，讨论函数零点的个数;
(2)当时，函数在定义域内的两个极值点为，试比较与的大小，并说明理由.

9 . 已知函数，为的导数．
(1)判断并证明在区间上存在的极大值点个数；
(2)判断的零点个数．

10 . 已知函数.
(1)的最小值为M，求M的值；
(2)若，求证：.