3 . 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．
(1)若，求；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．

6 . 在某项投资过程中，本金为，进行了次投资后，资金为，每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为r（所得利润与当次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为P，在实际问题中会有多种盈利可能（设有n种可能），记利润率为的概率为（其中），其中，由大数定律可知，当N足够大时，利润率是的次数为．
(1)假设第1次投资后的利润率为，投资后的资金记为，求与的关系式；
(2)当N足够大时，证明：（其中）；
(3)将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为，其利润率为；输了的概率为，其利润率为，求最大时x的值（用含有的代数式表达，其中）．

7 . 已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于，两点．直线，与相切，切点分别为，，，与轴的交点分别为，两点，且．
(1)求的方程；
(2)若点为上一动点（与，及坐标原点均不重合），直线与相切，切点为，与，的交点分别为，．记，的面积分别为，．
①请问：以，为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；
②证明：为定值．

9 . （1）已知各项均为正数的无穷数列满足：对于，都有，，求数列的通项公式；
（2）已知各项均为正数的无穷数列满足：对于，都有，其中为常数.
①若，，记，数列的前项和满足，求数列的通项公式：
②记，证明：数列中存在小于1的项.

10 . 现有A，B两个不透明盒子，都装有m个红球和m个白球，这些球的大小、形状、质地完全相同．
(1)若，甲、乙、丙依次从A盒中不放回的摸出一球，设X表示三人摸出的白球个数之和，求X的分布列与数学期望；
(2)若，从A、B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，求：
（i）的概率；
（ii）的分布列．