1 . 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上.
(1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程；
(2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标.

2 . 已知为正项数列的前项的乘积，且，.

(1)求的通项公式；
(2)若，求证：.

3 . 设直线l的方程为．
(1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；
(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，当面积最小时，求的周长及此时的直线方程；
(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程．

4 . 若数列满足：，且，则称为一个X数列. 对于一个X数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列.
(1)若X数列中，，，，写出其伴随数列中的值；
(2)若为一个X数列，为的伴随数列.
①证明：“为常数列”是“为等比数列”的充要条件；
②求的最大值.

5 . 设数列的前n项和为，若．
(1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．

6 . 记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：．

7 . 已知数列的首项，且满足，若.
(1)求证为等比数列；
(2)在数列中，，对任意的，，都有，求数列的前项和.

8 . 已知定义域为的函数满足对任意，都有．
(1)求证：是偶函数；
(2)设时，
①求证：在上是减函数；
②求不等式的解集．

9 . 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.

10 . 双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.
(1)若点的坐标为，求双曲线的方程；
(2)若在第一象限，证明：.