1 . 已知椭圆过和两点．
   
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线AM，BM分别交椭圆于两点P和Q，求四边形面积的最大值．

2 . P为圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)在（1）中曲线与轴的两个交点分别为和，、为曲线上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求该定值．

3 . 已知函数
(1)求f(x)的定义域；
(2)若，求f(x)的值域;
(3)设，函数，，若对于任意，总存在唯一的，使得成立，求a的取值范围.

5 . 已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求a的值；
(3)求证：对任意正整数，都有（其中e为自然对数的底数）.

6 . 已知为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上一点，且
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点､，且，求的值

7 . 已知C：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线m交直线m于点E.
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)①若线段EN必过定点P，求定点P的坐标；
②点O为坐标原点，求面积的最大值.

8 . 已知函数
(1)记，讨论的单调性；
(2)若对，都有，求实数a的取值范围．

9 . 过双曲线Γ：的左焦点F₁的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F₂.
(1)若是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；
(2)若存在直线l，使得，求Γ的离心率的取值范围.

10 . 已知椭圆C：.
(1)求椭圆C的离心率和长轴长；
(2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.