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1 . 已知是各项均为正整数的无穷递增数列,对于,定义集合,设为集合中的元素个数,特别规定:若时,.
(1)若,写出,及的值;
(2)若数列是等差数列,求数列的通项公式;
(3)设集合,,求证:且.
(1)若,写出,及的值;
(2)若数列是等差数列,求数列的通项公式;
(3)设集合,,求证:且.
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2 . 若集合的非空子集满足:对任意给定的,若,有,则称子集是的“好子集”.记为的好子集的个数.例如:的7个非空子集中只有不是好子集,即.记表示集合的元素个数.
(1)求的值;
(2)若是的好子集,且.证明:中元素可以排成一个等差数列;
(3)求的值.
(1)求的值;
(2)若是的好子集,且.证明:中元素可以排成一个等差数列;
(3)求的值.
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解题方法
3 . 已知集合,,,若,,或,则称集合A具有“包容”性.
(1)判断集合和集合是否具有“包容”性;
(2)若集合具有“包容”性,求的值;
(3)若集合C具有“包容”性,且集合C的子集有64个,,试确定集合C.
(1)判断集合和集合是否具有“包容”性;
(2)若集合具有“包容”性,求的值;
(3)若集合C具有“包容”性,且集合C的子集有64个,,试确定集合C.
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4 . 若集合,集合,其中,则称集合是集合的一个“元子集”.若“元子集”中的元素满足对任意,恒有,则称为的一个“个性独立子集”.已知集合,集合是的一个“个性独立子集”.
(1)求所有满足条件的集合的个数;
(2)若且互不相等,证明:为定值.
(1)求所有满足条件的集合的个数;
(2)若且互不相等,证明:为定值.
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5 . 特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法.一般地,若数列满足,则数列的通项公式可按以下步骤求解:①对应的特征方程为,该方程有两个不等实数根;②令,其中,为常数,利用求出A,B,可得的通项公式.已知数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)求满足不等式的最小整数的值;
(3)记数列的所有项构成的集合为M,求证:都不是的元素.
(1)求数列的通项公式;
(2)求满足不等式的最小整数的值;
(3)记数列的所有项构成的集合为M,求证:都不是的元素.
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6 . 已知椭圆,圆.
(1)点是椭圆的下顶点,点在椭圆上,点在圆上(点异于点),连,直线与直线的斜率分别记作,若,试判断直线是否过定点?若过定点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
(2)椭圆的左、右顶点分别为点,点(异于顶点)在椭圆上且位于轴上方,连分别交轴于点,点在圆上,求证:的充要条件为轴.
(1)点是椭圆的下顶点,点在椭圆上,点在圆上(点异于点),连,直线与直线的斜率分别记作,若,试判断直线是否过定点?若过定点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
(2)椭圆的左、右顶点分别为点,点(异于顶点)在椭圆上且位于轴上方,连分别交轴于点,点在圆上,求证:的充要条件为轴.
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7 . 设,是非空集合,定义二元有序对集合为和的笛卡尔积.若,则称是到的一个关系.当时,则称与是相关的,记作.已知非空集合上的关系是的一个子集,若满足,有,则称是自反的:若,有,则,则称是对称的;若,有,,则,则称是传递的.且同时满足以上三种关系时,则称是集合中的一个等价关系,记作~.
(1)设,,,,求集合与;
(2)设是非空有限集合中的一个等价关系,记中的子集为的等价类,求证:存在有限个元素,使得,且对任意,;
(3)已知数列是公差为1的等差数列,其中,,数列满足,其中,前项和为.若给出上的两个关系和,请求出关系,判断是否为上的等价关系.如果不是,请说明你的理由;如果是,请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合.
(1)设,,,,求集合与;
(2)设是非空有限集合中的一个等价关系,记中的子集为的等价类,求证:存在有限个元素,使得,且对任意,;
(3)已知数列是公差为1的等差数列,其中,,数列满足,其中,前项和为.若给出上的两个关系和,请求出关系,判断是否为上的等价关系.如果不是,请说明你的理由;如果是,请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合.
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8 . 在计算机科学中,维数组是一种基础而重要的数据结构,它在各种编程语言中被广泛使用.对于维数组,,定义与的差为与之间的距离为.
(1)若维数组,证明:;
(2)证明:对任意的数组A,B,C,有;
(3)设集合中有个维数组,记中所有两元素间的距离的平均值为,证明:.
(1)若维数组,证明:;
(2)证明:对任意的数组A,B,C,有;
(3)设集合中有个维数组,记中所有两元素间的距离的平均值为,证明:.
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9 . 对于给定的一个位自然数(其中,),称集合为自然数的子列集合,定义如下:{且,使得},比如:当时,.
(1)当时,写出集合;
(2)有限集合的元素个数称为集合的基数,一般用符号来表示.
(ⅰ)已知,试比较大小关系;
(ⅱ)记函数(其中为这个数的一种顺序变换),并将能使取到最小值的记为.当时,求的最小值,并写出所有满足条件的.
(1)当时,写出集合;
(2)有限集合的元素个数称为集合的基数,一般用符号来表示.
(ⅰ)已知,试比较大小关系;
(ⅱ)记函数(其中为这个数的一种顺序变换),并将能使取到最小值的记为.当时,求的最小值,并写出所有满足条件的.
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10 . 对于定义在上的函数,如果存在一组常数,,…,(为正整数,且),使得,,则称函数为“阶零和函数”.
(1)若函数,,请直接写出,是否为“2阶零和函数”;
(2)判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件(用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答),并证明你的结论;
(3)判断下列函数是否为“3阶零和函数”,并说明理由.,.
(1)若函数,,请直接写出,是否为“2阶零和函数”;
(2)判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件(用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答),并证明你的结论;
(3)判断下列函数是否为“3阶零和函数”,并说明理由.,.
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