解题方法
1 . 对集合,定义其特征函数,考虑集合和正实数,定义为和式函数.设,则为闭区间列;如果集合对任意,有,则称是无交集合列,设集合.
(1)证明:L和式函数的值域为有限集合;
(2)设为闭区间列,是定义在上的函数.已知存在唯一的正整数,各项不同的非零实数,和无交集合列使得,并且,称为和式函数的典范形式.设为的典范数.
(i)设,证明:;
(ii)给定正整数,任取正实数和闭区间列,判断的典范数最大值的存在性.如果存在,给出最大值;如果不存在,说明理由.
(1)证明:L和式函数的值域为有限集合;
(2)设为闭区间列,是定义在上的函数.已知存在唯一的正整数,各项不同的非零实数,和无交集合列使得,并且,称为和式函数的典范形式.设为的典范数.
(i)设,证明:;
(ii)给定正整数,任取正实数和闭区间列,判断的典范数最大值的存在性.如果存在,给出最大值;如果不存在,说明理由.
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2 . 称是的一个向往集合,当且仅当其满足如下两条性质:(1)任意,;(2)任意和,有.任取,称包含的最小向往集合称为的生成向往集合,记为.
(1)求满足的正整数的值;
(2)对两个向往集合,定义集合
(i)证明:仍然是向往集合,并求正整数,满足;
(ii)证明:如果,则.
(1)求满足的正整数的值;
(2)对两个向往集合,定义集合
(i)证明:仍然是向往集合,并求正整数,满足;
(ii)证明:如果,则.
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解题方法
3 . 设M是由复数组成的集合,对M的一个子集A,若存在复平面上的一个圆,使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上,且中的数对应的点都在圆外,则称A是一个M的“可分离子集”.
(1)判断是否是的“可分离子集”,并说明理由;
(2)设复数z满足,其中分别表示z的实部和虚部.证明:是的“可分离子集”当且仅当.
(1)判断是否是的“可分离子集”,并说明理由;
(2)设复数z满足,其中分别表示z的实部和虚部.证明:是的“可分离子集”当且仅当.
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4 . 给定素数,定义集合.对于,,定义如下:当时;当时.对于的一个子集,定义.若集合满足且对任意有则称集合为好集合.求最大正整数,使得可以找到个互不相同的好集合,,,,满足.
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2023-12-14更新
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378次组卷
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3卷引用:2023年第39届全国中学生冬令营(CMO)数学试题
5 . 写出命题“能找到两个奇函数和,使得函数不是偶函数”的否定:“______ ”.并判断所写命题的真假:这是一个______ 命题.
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6 . 定义关于的函数,其中和皆为非零常数,则( )
A.存在实数和,使得的最小值为 |
B.存在实数和,使得的最大值为1 |
C.为正偶数时,方程在区间共有个实根 |
D.为正奇数时,“为的零点”是“为的零点”的必要不充分条件 |
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解题方法
7 . 已知集合,若,则,则称为集合的“亮点”,若,则集合中的“亮点”共有( )
A.2个 | B.3个 | C.1个 | D.0个 |
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8 . 已知集合、,,若满足,则称集合为正序集合,,若满足且,称集合为波浪集合,若,则称集合为正序集合的波浪集合.如正序集合的波浪集合为.已知正序集合,则集合的波浪集合的个数为( )
A.13 | B.14 | C.15 | D.16 |
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9 . 已知集合,且,给出下列命题:
①满足的集合的个数为;
②满足⫋的集合的个数为;
③满足⫋的集合的个数为;
④满足⫋⫋的集合的个数为.
其中正确的是______ .(填上你认为正确的所有命题序号)
①满足的集合的个数为;
②满足⫋的集合的个数为;
③满足⫋的集合的个数为;
④满足⫋⫋的集合的个数为.
其中正确的是
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