1 . 将全体定义在上的函数的集合记为．对，，定义上的函数之间的加法和数乘运算：，．已知为一个满足线性关系的映射，即，，这里，，且满足对任意整数，有，数列，，其中．
(1)求，的递推公式；（不需要提供初值，递推公式可以由，组成）
(2)若满足，，且为单调递减的正项数列：
①求，的通项公式；
②记，记为的前项和，证明：为定值，并求出该定值．

2 . 某学习小组研究得到以下两个公式：①；②．
(1)请你在①和②中任选一个进行证明；
(2)在中，已知，求的面积．

4 . 已知抛物线：，抛物线：．的焦点为，的焦点为，与交于两点．
(1)证明：直线是的中垂线；
(2)当时，求的正切值（用表示）．

7 . 在锐角三角形中，，．

(1)设，试用表示的周长，并确定的取值范围；
(2)如图，设为的外角平分线的交点，为与延长线的交点．
（ⅰ）用正弦定理证明：；
（ⅱ）设，分别为与同向共线的单位向量，且，求实数的取值范围．

8 . 在中，化简“______”，并利用该等式证明余弦定理和正弦定理．