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1 . 十七世纪法国数学家费马提出了一个著名的几何问题:“已知一个三角形.求作一点.使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是:当三角形的三个角均小于时,则该点与三角形的三个顶点的连线两两成角;当三角形有一内角大于或等于时,所求点为三角形最大内角的顶点,在费马问题中,所求点称为费马点.已知在中,,,,CM是的角平分线,交AB于M,P为的费马点,则下列说法正确的是( )
A. | B. |
C. | D. |
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2 . 著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线,该定理被称为欧拉线定理.已知的外心为、垂心为,重心为,且,,则下列说法正确的是( )
A. | B. |
C. | D. |
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3 . 在中,对应的边分别为.
(1)求;
(2)奥古斯丁•路易斯・柯西,法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式:;
②已知三维分式型柯西不等式:,当且仅当时等号成立.若是内一点,过作的垂线,垂足分别为,求的最小值.
(1)求;
(2)奥古斯丁•路易斯・柯西,法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式:;
②已知三维分式型柯西不等式:,当且仅当时等号成立.若是内一点,过作的垂线,垂足分别为,求的最小值.
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4 . 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是:“当三角形的三个角均小于时,所求的点为三角形的正等角中心,即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角;当三角形有一内角大于或等于时,所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点. 试用以上知识解决下面问题:已知的内角所对的边分别为,且
(1)求;
(2)若,设点为的费马点,求;
(3)设点为的费马点,,求实数的最小值.
(1)求;
(2)若,设点为的费马点,求;
(3)设点为的费马点,,求实数的最小值.
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5 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题,该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当的三个内角均小于120°时,使得的点O即为费马点;当有一个内角大于或等于120°时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角A;
(2)若,设点P为的费马点,求;
(3)设点P为的费马点,,求实数t的最小值.
(1)求角A;
(2)若,设点P为的费马点,求;
(3)设点P为的费马点,,求实数t的最小值.
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6 . 在中,角A,,对应的边分别为,,,.
(1)求角A;
(2)法国著名数学家奥古斯丁路易斯柯西(AugustinLouisCauchy,1789年-1857年)在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①柯西不等式的二维形式是对于任意的,,,,有.请证明上述不等式,并写出等号取到的条件;
②请用柯西不等式的二维形式求的最大值,并写出等号取到的条件;
③在(1)的条件下,若,是内一点,过作,,垂线,垂足分别为,,,借助于三维分式型柯西不等式:,,,当且仅当时等号成立.求的最小值.
(1)求角A;
(2)法国著名数学家奥古斯丁路易斯柯西(AugustinLouisCauchy,1789年-1857年)在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①柯西不等式的二维形式是对于任意的,,,,有.请证明上述不等式,并写出等号取到的条件;
②请用柯西不等式的二维形式求的最大值,并写出等号取到的条件;
③在(1)的条件下,若,是内一点,过作,,垂线,垂足分别为,,,借助于三维分式型柯西不等式:,,,当且仅当时等号成立.求的最小值.
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7 . 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,还被用做第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若,,,则( )
A. | B. | C. | D. |
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8 . 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若,,E为的中点,则( )
A. | B. |
C. | D. |
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9 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当的三个内角均小于时,使得的点即为费马点;当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知,,分别是三个内角,,的对边
(1)若,
①求;
②若,设点为的费马点,求的值;
(2)若,设点为的费马点,,求实数的最小值.
(1)若,
①求;
②若,设点为的费马点,求的值;
(2)若,设点为的费马点,,求实数的最小值.
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10 . 八卦是中国古代哲学和文化中的一个重要概念,图1是八卦模型图,其平面图形为图2所示的正八边形,其中,给出下列结论:①与的夹角为;②;③;④.其中正确结论的个数为( )
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
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2024-04-29更新
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293次组卷
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2卷引用:山东省青岛第二中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题