1 . 已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列前项和为，求证：．

2 . 已知数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求证：.

3 . 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为．
(1)证明：；
(2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．

4 . 已知等差数列的公差为，，若分别从下表第一、二、三行中各取一个数，依次作为，，，且，，中任何两个数都不在同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	5	6
第二行	7	4	8
第三行	11	12	9

(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．

5 . 已知数列的各项均不为零，为其前n项和，且.
(1)证明：；
(2)若，数列为等比数列，，.求数列的前2022项和.

6 . 若数列及满足且，.
（1）证明：；
（2）求数列的通项公式.

7 . 设数列{a_n}的前n项和为S_n，且首项a₁≠3，a_n+1=S_n+3ⁿ(n∈N^*).
（1）求证：{S_n﹣3ⁿ}是等比数列；
（2）若{a_n}为递增数列，求a₁的取值范围.

8 . 已知数列满足：，．
（1）求证数列是等比数列；
（2）若数列满足，求的最大值．

9 . 已知为等差数列的前项和，，．
（1）求；
（2）记数列的前项和为，证明：．

10 . 甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列的前n项和为，已知_____，
（1）判断，，的关系；
（2）若，设，记的前n项和为，证明：.
甲同学记得缺少的条件是首项a₁的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是，，成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题.