1 . 已知数列中，，其前项的和为，且满足().
（1）求证：数列是等差数列；
（2）证明：当时，.

2 . 已知数列的前n项和为，
(1)证明：数列是等差数列，并求；
（2）设，求证：

3 . 已知各项均为正数的等比数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为．求证：．

4 . 已知数列，若，且.
(1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求证：.

5 . 已知数列，若，且．
(1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

6 . 随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2023年共有5000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分），得到如下数据：

	不及格	及格
师范类毕业	20	45
非师范类毕业	20	15

(1)能否有99%的把握认为考生的笔试成绩与是否为师范类毕业有关？
(2)考生甲为提升笔试成绩，报名参加了某教师资格考试知识竞赛，该竞赛要回答A，B两类问题，每位参赛者回答n次（），每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从B类中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从A类中随机抽取．规定每位参赛者回答的第一个问题从A类中抽取，已知考生甲能正确回答A类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且每次回答问题正确与否是相互独立的，若考生甲第次回答正确的概率为，证明：为等比数列并求出．
附：，其中．

	0.05	0.025	0.01
	3.841	5.024	6.635

7 . 已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．

8 . 已知数列满足：．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前项和．

9 . 已知数列为各项均为正数的数列，数列满足，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和．

10 . 已知单调递增数列满足，.
(1)证明:是等差数列；
(2)从①；②这两个条件中任选一个，求的前项和.
注:如果选择不同的条件分别解答，按第一个解答计分.