名校
解题方法
1 . 数列
中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列
称为的一阶差数列，记为
，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为
，…．如果一个数列的p阶差数列
是等比数列，则称数列为p阶等比数列
．
(1)已知数列满足
，
．
（ⅰ）求
，
，
；
（ⅱ）证明：是一阶等比数列；
(2)已知数列
为二阶等比数列，其前5项分别为
，求
及满足为整数的所有n值．
中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列．(1)已知数列
满足，．（ⅰ）求
，，；（ⅱ）证明：
是一阶等比数列；(2)已知数列
为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值．
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2024-06-01更新
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858次组卷
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2卷引用：北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期统练3数学试题
2 . 对于数列
，
，…，
，记
，
.设数列
，
，…，
和数列
，
，…，是两个递增数列，若A与
满足
，
，且
，
，则称A，具有
关系.
(1)若数列A：4，7，13和数列：3，，
具有关系，求，的值；
(2)证明：当
时，存在无数对具有关系的数列；
(3)当
时，直接写出一对具有关系的数列
和.（本小问不用写解答过程）
，，…，，记，.设数列，，…，和数列，，…，是两个递增数列，若A与满足，，且，，则称A，具有关系.(1)若数列A：4，7，13和数列
：3，，具有关系，求，的值；(2)证明：当
时，存在无数对具有关系的数列；(3)当
时，直接写出一对具有关系的数列和.（本小问不用写解答过程）
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解题方法
3 . 已知数列是无穷数列，
.
(1)若，
，写出
，
的值；
(2)已知数列中
，求证：数列中有无穷项为
；
(3)已知数列中任何一项都不等于，且
，记
，其中
为
，
中较大的数. 求证：数列是递减数列.
是无穷数列，.(1)若
，，写出，的值；(2)已知数列
中，求证：数列中有无穷项为；(3)已知数列
中任何一项都不等于，且，记，其中为，中较大的数. 求证：数列是递减数列.
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4 . 已知数列的首项
，其中
，
，令集合
．
(1)若
，写出集合A中的所有的元素；
(2)若
，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；
(3)求证：
．
的首项，其中，，令集合．(1)若
，写出集合A中的所有的元素；(2)若
，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；(3)求证：
．
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名校
解题方法
5 . 已知无穷数列满足：
①
；
②
．
设
为
所能取到的最大值，并记数列
．
(1)若数列为等差数列且，直接写出其公差
的值；
(2)若
，求
的值；
(3)若，，求数列的前100项和．
满足：①
；②
．设
为所能取到的最大值，并记数列．(1)若数列
为等差数列且，直接写出其公差的值；(2)若
，求的值；(3)若
，，求数列的前100项和．
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6 . 已知数列：
，，…，（
，
）具有性质
：对任意
，
（
），
与
两数中至少有一个是该数列中的一项，
为数列的前项和.
(1)分别判断数列0，1，3与数列0，1，3，4是否具有性质；
(2)证明：
，且
；
(3)证明：当
时，，，
，，成等差数列.
：，，…，（，）具有性质：对任意，（），与两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和.(1)分别判断数列0，1，3与数列0，1，3，4是否具有性质
；(2)证明：
，且；(3)证明：当
时，，，，，成等差数列.
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7 . 已知数列，记集合
.
(1)若数列为
，写出集合
；
(2)若
，是否存在
，使得
？若存在，求出一组符合条件的
；若不存在，说明理由；
(3)若
，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为
， 若
，求的最大值．
，记集合.(1)若数列
为，写出集合；(2)若
，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；(3)若
，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
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2024-04-10更新
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949次组卷
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2卷引用：北京市第五十五中学2023-2024学年高二下学期3月调研数学试卷
名校
8 . 已知整数
，数列
是递增的整数数列，即
且
定义数列的“相邻数列”为
，其中
或
(1)已知
，数列
，写出的所有“相邻数列”；
(2)已知
，数列
是递增的整数数列，
，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数；
(3)已知
，数列
是递增的整数数列，
，且存在的一个“相邻数列”，对任意的
，求
的最小值．
，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或(1)已知
，数列，写出的所有“相邻数列”；(2)已知
，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数；(3)已知
，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值．
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2024-02-04更新
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489次组卷
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4卷引用：北京市清华附中高22级2023-2024学年高二上学期期末数学试题
北京市清华附中高22级2023-2024学年高二上学期期末数学试题北京市清华大学附中2023-2024学年高二上学期期末数学试题北京市陈经纶中学2023-2024学年高二下学期4月期中诊断数学试卷（已下线）压轴题数列新定义题(九省联考第19题模式）讲
9 . 设数列的前n项和为.若对任意
.总存在
.使得
.则称是“M数列”.
(1)判断数列
（）是不是“M数列”，并说明理由；
(2)设是等差数列，其首项
.公差
.且是“M数列”
①求d的值和数列的通项公式：
②设
，直接写出数列
中最小的项.
的前n项和为.若对任意.总存在.使得.则称是“M数列”.(1)判断数列
（）是不是“M数列”，并说明理由；(2)设
是等差数列，其首项.公差.且是“M数列”①求d的值和数列
的通项公式：②设
，直接写出数列中最小的项.
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名校
10 . 设为给定的正奇数，定义无穷数列
，
其中.若
是数列
中的项，则记作
.
(1)若
，写出
的前5项；
(2)求证：集合
是空集；
(3)记集合
，
，求集合
.
为给定的正奇数，定义无穷数列，其中.若是数列中的项，则记作.(1)若
，写出的前5项；(2)求证：集合
是空集；(3)记集合
，，求集合.
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