名校
解题方法
1 . 数列
有
项，
，对任意
，存在
，若
与前
项中某一项相等，则称具有性质
.
(1)若
，求
可能的值；
(2)若不为等差数列，求证：中存在满足性质；
(3)若中恰有三项具有性质，这三项和为
，使用
表示
.
有项，，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.(1)若
，求可能的值；(2)若
不为等差数列，求证：中存在满足性质；(3)若
中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.
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名校
解题方法
2 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数
除以整数
得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为
的倍数，称为的约数．设正整数共有
个正约数，即为
，
，
，
，
．
(1)当
时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当
时，若
，
，，
构成等比数列，求正整数的所有可能值；
(3)记
，求证：
．
除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，．(1)当
时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；(2)当
时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值；(3)记
，求证：．
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2024-05-04更新
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159次组卷
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12卷引用：北京市第五十五中学2024届高三上学期10月月考数学试题
北京市第五十五中学2024届高三上学期10月月考数学试题北京市东城区第六十五中学2024届高三上学期12月月考数学试题北京市通州区2023届高三上学期期末数学试题湖南省长沙市雅礼中学2024届高三一模数学试卷（已下线）高考数学冲刺押题卷02（2024新题型）（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编（已下线）专题06 数列（已下线）第四套 艺体生新高考全真模拟 （一模重组卷）湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题北京市西城区北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）高二下学期第三次月考模拟卷（新题型）（范围：导数+选择性必修第三册）-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第三册）广东省广州市广东实验中学2023-2024学年高三下学期教学情况测试（二）数学试卷A
22-23高三下·北京海淀·开学考试
名校
解题方法
3 . 若无穷数列的各项均为整数．且对于
，
，都存在
，使得
，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①
，
，2，3，…；
②
，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且
，求证：集合
为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．
的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①
，，2，3，…；②
，，2，3，…．(2)若数列
满足性质P，且，求证：集合为无限集；(3)若周期数列
满足性质P，求数列的通项公式．
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2024-02-10更新
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1530次组卷
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14卷引用：北京市第五中学2023届高三下学期3月检测数学试题
北京市第五中学2023届高三下学期3月检测数学试题北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期阶段练习（1月）数学试题北京市清华大学附属中学2023届高三下学期4月月考数学试题（已下线）北京市海淀区清华大学附属中学2023届高三下学期开学调研测试数学试题北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2023届高三零模数学试题（已下线）北京市第四中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题北京市顺义区第一中学2024届高三下学期高考考前适应性检测数学试卷北京市海淀区中国人民大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学复习试题（2）（已下线）2023年北京高考数学真题变式题16-21湖南省2024届高三数学新改革提高训练一（九省联考题型）2024届高三新改革数学模拟预测训练一（九省联考题型）（已下线）压轴题05数列压轴题15题型汇总-1广东省广州市执信中学2024届高三下学期教学情况检测（二）数学试题湖南省张家界市民族中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题
解题方法
4 . 已知数列
和
满足
．
(1)证明：
；
(2)是否存在
，使得数列
是等比数列？说明理由．
和满足．(1)证明：
；(2)是否存在
，使得数列是等比数列？说明理由．
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5 . 设数列的前项和为
．若对任意的正整数，总存在正整数，使得
，则称是“
数列”．
(1)若数列
，
，判断和
是否是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差
．若是“数列”，求
的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和
，使得
成立．
的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．(1)若数列
，，判断和是否是“数列”；(2)设
是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值；(3)证明：对任意的等差数列
，总存在两个“数列”和，使得成立．
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2023-12-25更新
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756次组卷
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4卷引用：北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2024届高三上学期12月练习数学试题
名校
6 . 设为给定的正奇数，定义无穷数列
：
若是数列中的项，则记作
.
(1)若数列的前6项各不相同，写出的最小值及此时数列的前6项；
(2)求证：集合
是空集；
(3)记集合
正奇数
，求集合
.（若为任意的正奇数，求所有数列的相同元素构成的集合.）
为给定的正奇数，定义无穷数列：若是数列中的项，则记作.(1)若数列
的前6项各不相同，写出的最小值及此时数列的前6项；(2)求证：集合
是空集；(3)记集合
正奇数，求集合.（若为任意的正奇数，求所有数列的相同元素构成的集合.）
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2023-12-21更新
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1095次组卷
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4卷引用：北京市西城区北师大附属实验中学2024届高三上学期12月月考数学试题
北京市西城区北师大附属实验中学2024届高三上学期12月月考数学试题（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练湖南省2024届高三数学新改革提高训练二（九省联考题型）（已下线）4.3 数列-求数列通项的八种方法(八大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
名校
7 . 已知数集
具有性质
：对任意
，
与
两数中至少有一个属于
．
(1)分别判断数集
与
是否具有性质；
(2)求证：
；
(3)给定正整数
，求证：，，
，
组成等差数列．
具有性质：对任意，与两数中至少有一个属于．(1)分别判断数集
与是否具有性质；(2)求证：
；(3)给定正整数
，求证：，，，组成等差数列．
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2023-12-20更新
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400次组卷
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4卷引用：北京市海淀区中央民族大学附中2024届高三上学期12月月考数学试题
北京市海淀区中央民族大学附中2024届高三上学期12月月考数学试题（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编北京市北京师范大学燕化附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
名校
8 . 已知为正整数，数列
：
，记
．对于数列，总有
，
，则称数列为项
数列．若数列A：
，
：
，均为项数列，定义数列
：
，其中
，．
(1)已知数列A：1，0，1，：0，1，1，直接写出
和
的值；
(2)若数列A，均为项数列，证明：
.
为正整数，数列：，记．对于数列，总有，，则称数列为项数列．若数列A：，：，均为项数列，定义数列：，其中，．(1)已知数列A：1，0，1，
：0，1，1，直接写出和的值；(2)若数列A，
均为项数列，证明：.
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9 . 设无穷数列的前项和为
为单调递增的无穷正整数数列，记
，
，定义
．
(1)若
，写出
的值；
(2)若
，求
；
(3)设
求证：对任意的无穷数列，存在数列
，使得
为常数列．
的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，，定义．(1)若
，写出的值；(2)若
，求；(3)设
求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列．
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2023-11-02更新
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490次组卷
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3卷引用：北京市第一六一中学2024届高三上学期12月阶段测试数学试题
名校
解题方法
10 . 对于数列定义
为的差数列，
为的累次差数列.如果的差数列满足
，
，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足
，
，则称是“累差不变数列”.
(1)设数列
：2，4，8，10，14，16；
：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；
(2)若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项
，
，
（为大于0的常数），求数列的通项公式；
(3)已知数列：
是“绝对差异数列”，且
.证明：
的充要条件是
.
定义为的差数列，为的累次差数列.如果的差数列满足，，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足，，则称是“累差不变数列”.(1)设数列
：2，4，8，10，14，16；：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；(2)若无穷数列
既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项，，（为大于0的常数），求数列的通项公式；(3)已知数列
：是“绝对差异数列”，且.证明：的充要条件是.
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