1 . 已知数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求和：

2 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若构成等比数列，求正整数；
(3)记，求证：.

3 . 已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式.
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由.

4 . 已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，求的值.

5 . 在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，在3个数码的排列312中，3与1，3与2都构成逆序，因此.
(1)计算；
(2)设数列满足，，求的通项公式；
(3)设排列满足，，，，，证明：.

6 . 对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和．
(1)求的值：
(2)若，求数列的前项和
(3)对互不相等的质数，证明：，并求的值．

7 . 已知数列满足，，数列的前项和为，且．
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前项和．

8 . 已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式.
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求及其最小值.

9 . 已知是公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，且，数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式及其前n项和；
(2)设求数列的前n项和；
(3)设集合，求集合M中所有元素的和．

10 . 已知数列满足，，数列满足．
(1)判断数列的单调性；
(2)求数列的前n项和．