1 . 设数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式：
（2）设数列的前n项和为，求证：为定值；
（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．

2 . 设数列的前项和为，且.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：为定值；
（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.

3 . 已知正项数列的前项和为，且满足，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前项和.

4 . 已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求证：．

5 . 某公司为了丰富员工的业余文化生活，召开了一次趣味运动会.甲､乙两人参加“射击气球”这项比赛活动，他们依次轮流射击气球一次，每人射击次(射击次数由参与比赛的两人决定)，其中射击气球只有两种结果：“中”与“不中”.比赛规则如下：甲先射击，若结果是“中”，则本次射击得2分，否则得1分；再由乙第一次射击，若结果为“中”，其得分在甲第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第二次射击，若结果为“中”，其得分在乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由乙第二次射击，若结果为“中”，其得分在甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第三次射击，按此规则，直到比赛结束.已知甲､乙每次击中气球的概率均为.记，分别表示甲，乙第次射击的得分.
（1）若，记乙的累计得分为，求的概率.
（2）①求数学期望，，；
②记，，，….证明：数列为等比数列.

6 . 数列满足，，
（1）设，证明数列是等差数列
（2）求数列的前项和.

7 . 已知数列的前项和为，满足，，
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前项和.

8 . 某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红花和黄花的概率都是，从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率是，开黄花的概率是；若上一代开黄花，则这一代开红花的概率是，开黄花的概率是.记第n代开红花的概率为，第n代开黄花的概率为.
（1）求；
（2）①证明：数列为等比数列；
②第代开哪种颜色花的概率更大？

9 . 已知数列满足，.
证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
设，求数列的前项和.

10 . 数列满足，是与的等差中项.
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.