1 . 如图所示，四边形
为梯形，
，
，
，以
为一条边作矩形
，且
，平面
平面．
；
(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为
，其中一个平面内的图形
在另一个平面上的正投影为
，它们的面积分别记为
和
，则
．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段
上存在点
，使得
．请你对乙同学发现的结论进行证明．
为梯形，，，，以为一条边作矩形，且，平面平面．
；(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为
，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为，它们的面积分别记为和，则．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段上存在点，使得．请你对乙同学发现的结论进行证明．
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名校
解题方法
2 . 如图，已知是圆
的直径，
平面，
是
的中点，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求证：平面
平面
．
是圆的直径，平面，是的中点，． (1)证明：
平面；(2)求证：平面
平面．
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2010·广东汕头·一模
解题方法
3 . 如图，四棱锥
的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且
，E是侧棱
上的动点.
(1)求四棱锥的体积;
(2)如果E是的中点，求证: 
平面
;
(3)是否不论点E在侧棱的任何位置，都有
?证明你的结论.
的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱上的动点. (1)求四棱锥
的体积;(2)如果E是
的中点，求证: 平面;(3)是否不论点E在侧棱
的任何位置，都有?证明你的结论.
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2024-01-04更新
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347次组卷
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4卷引用：汕头市2009-2010学年度第二学期高三级数学综合测练题（理四）
（已下线）汕头市2009-2010学年度第二学期高三级数学综合测练题（理四）2017届北京市海淀区高三3月适应性考试（零模）文科数学试卷广东省2024年1月高中合格性学业水平考试模拟测试数学试题（三）（已下线）第13讲 8.6.2直线与平面垂直的性质定理 （第2课时）-【帮课堂】（人教A版2019必修第二册）
名校
4 . 已知，图中直棱柱
的底面是菱形，其中
.又点
分别在棱
上运动，且满足：
，
.
(1)求证：四点共面，并证明
平面
；
(2)是否存在点
使得二面角
的余弦值为
？如果存在，求出
的长；如果不存在，请说明理由.
的底面是菱形，其中.又点分别在棱上运动，且满足：，.(1)求证：
四点共面，并证明平面；(2)是否存在点
使得二面角的余弦值为？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.
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5 . 在底面ABCD为梯形的多面体中.
，BC⊥CD，
，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．
(1)求证：BD⊥AE；
(2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明．
，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形． (1)求证：BD⊥AE；
(2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明．
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2023-06-22更新
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1137次组卷
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5卷引用：河南省郑州市等3地2022-2023学年高三下学期6月冲刺卷（五）全国卷理科数学试题
河南省郑州市等3地2022-2023学年高三下学期6月冲刺卷（五）全国卷理科数学试题第一章 空间向量与立体几何 讲核心03（已下线）第11讲 用空间向量研究距离、夹角问题11种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第06讲 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（2）（已下线）专题1-3 空间向量综合：斜棱柱、不规则几何体建系计算（讲+练）-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学热点题型归纳与培优练（人教A版2019选择性必修第一册）
名校
6 . 如图，
是圆的直径，点
是圆上异于
的点，直线
平面
分别是
的中点．
(1)记平面
与平面
的交线为
，证明：
平面
；
(2)设（1）中的直线与圆的另一个交点为
，且点
满足
．记直线
与平面所成的角为
，异面直线与所成的角为
，二面角
的大小为
，求证：
．
是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面分别是的中点． (1)记平面
与平面的交线为，证明：平面；(2)设（1）中的直线
与圆的另一个交点为，且点满足．记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：．
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名校
7 . 如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面
平面
，
．
(1)求证：
；
(2)若
．
（ⅰ）求直线
与直线
所成角的余弦值；
（ⅱ）求点
到平面
的距离；
（ⅲ）设点为线段
上任意一点（不包含端点），证明：直线
与平面相交.
中，底面是正方形，平面平面，． (1)求证：
；(2)若
．（ⅰ）求直线
与直线所成角的余弦值；（ⅱ）求点
到平面的距离；（ⅲ）设点
为线段上任意一点（不包含端点），证明：直线与平面相交.
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2023-05-23更新
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724次组卷
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2卷引用：北京市第一零一中学2023届高三三模数学统考四试题
8 . 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，
，
，
为等边三角形，为棱
的中点.
(1)证明：
平面；
(2)当=
时，求证：平面⊥平面，并求点与到平面的距离.
中，底面是梯形，，，，为等边三角形，为棱的中点. (1)证明：
平面；(2)当
=时，求证：平面⊥平面，并求点与到平面的距离.
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2023-05-23更新
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951次组卷
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3卷引用：四川省遂宁市射洪市2023届高三5月模拟数学（文）试题
9 . 如图，在四棱锥中，侧棱平面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，
，点M，N分别为棱PB，PD的中点，点E在棱AD上，
.
(1)求证：直线
平面BNE；
(2)从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立.
①平面PAB与平面PCD的交线l与直线BE所成角的余弦值为
；
②二面角
的余弦值为
.
注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分.
中，侧棱平面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，，点M，N分别为棱PB，PD的中点，点E在棱AD上，. (1)求证：直线
平面BNE；(2)从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立.
①平面PAB与平面PCD的交线l与直线BE所成角的余弦值为
；②二面角
的余弦值为.注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分.
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解题方法
10 . 如图所示，已知
是圆锥
底面的两条直径，为劣弧
的中点．
(1)证明：
；
(2)若
，为线段
上的一点，且
，求证：平面
平面
．
是圆锥底面的两条直径，为劣弧的中点．(1)证明：
；(2)若
，为线段上的一点，且，求证：平面平面．
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