1 . 已知点，，，均在半径为的球面上，是等边三角形，平面，则四面体体积的最大值为__________.

2 . 已知三棱锥满足底面，在中，，，，是线段上一点，且．球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为________.

3 . 已知各顶点均在表面积为的球体表面上，，，，则当长度最小时，三棱锥的体积为______.

4 . 桌面上放着三个半径为2024的球，且两两相切，在它们上方的空隙里放入一个半径为r的球，使其最高点恰好和这三个球的最高点在同一平面上，则_____________.

5 . 如图，在棱长为8的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列三个结论：①若为上的动点，则的最小值为；②到平面的距离的最大值为；③为的中点，为空间中一点，且与平面所成的角为，与平面所成的角为，则在平面上射影的轨迹长度为，其中所有正确结论的序号是________．

6 . 正方体棱长为2，E，F分别是棱，的中点，M是正方体的表面上一动点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为______．

7 . 在三棱锥中，平面平面ABC，，为等边三角形，，则该三棱锥外接球的表面积为__________.

8 . 在三棱锥中，，且．记直线，，与平面所成角分别为，，，已知，当三棱锥的体积最小时，___________.

9 . 已知正方体的棱长为1，，则的最大值是____________．

10 . 正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为____________．