解题方法
1 . 设,.如果存在使得,那么就说可被整除(或整除),记做且称是的倍数,是的约数(也可称为除数、因数).不能被整除就记做.由整除的定义,不难得出整除的下面几条性质:①若,,则;②,互质,若,,则;③若,则,其中.
(1)若数列满足,,其前项和为,证明:;
(2)若为奇数,求证:能被整除;
(3)对于整数与,,求证:可整除.
(1)若数列满足,,其前项和为,证明:;
(2)若为奇数,求证:能被整除;
(3)对于整数与,,求证:可整除.
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2 . 在信息理论中,和是两个取值相同的离散型随机变量,分布列分别为:,,,,,.定义随机变量的信息量,和的“距离”.
(1)若,求;
(2)已知发报台发出信号为0和1,接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为,由于通信信号受到干扰,发出信号0接收台收到信号为0的概率为,发出信号1接收台收到信号为1的概率为.
(ⅰ)若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为0的概率;(用,表示结果)
(ⅱ)记随机变量和分别为发出信号和收到信号,证明:.
(1)若,求;
(2)已知发报台发出信号为0和1,接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为,由于通信信号受到干扰,发出信号0接收台收到信号为0的概率为,发出信号1接收台收到信号为1的概率为.
(ⅰ)若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为0的概率;(用,表示结果)
(ⅱ)记随机变量和分别为发出信号和收到信号,证明:.
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名校
3 . 小明进行投篮训练,已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若小明共投篮4次,求在投中2次的条件下,第二次没有投中的概率;
(2)若小明进行两组训练,第一组投篮3次,投中次,第二组投篮2次,投中次,求;
(3)记表示小明投篮次,恰有2次投中的概率,记表示小明在投篮不超过n次的情况下,当他投中2次后停止投篮,此时一共投篮的次数(当投篮n次后,若投中的次数不足2次也不再继续投),证明:.
(1)若小明共投篮4次,求在投中2次的条件下,第二次没有投中的概率;
(2)若小明进行两组训练,第一组投篮3次,投中次,第二组投篮2次,投中次,求;
(3)记表示小明投篮次,恰有2次投中的概率,记表示小明在投篮不超过n次的情况下,当他投中2次后停止投篮,此时一共投篮的次数(当投篮n次后,若投中的次数不足2次也不再继续投),证明:.
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2023-11-11更新
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2750次组卷
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4卷引用:湖北省部分名校2023-2024学年高三上学期11月期中联考数学试题
解题方法
4 . 设数列的前项和为,已知,且.
(1)证明:为等比数列,并求数列的通项公式;
(2)设,若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)高斯是德国著名数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用他名字定义的函数称为高斯函数,其中表示不超过的最大整数,如,,设,数列的前项和为,求除以16的余数.
(1)证明:为等比数列,并求数列的通项公式;
(2)设,若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)高斯是德国著名数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用他名字定义的函数称为高斯函数,其中表示不超过的最大整数,如,,设,数列的前项和为,求除以16的余数.
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2024-04-08更新
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1189次组卷
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2卷引用:辽宁省鞍山市第六中学2024届高三下学期第二次质量检测数学试题卷
5 . 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设,,记,,并规定.记,并规定.定义
(1)若,求和;
(2)求;
(3)证明:.
(1)若,求和;
(2)求;
(3)证明:.
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解题方法
6 . “熵”常用来判断系统中信息含量的多少,也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小,一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显.定义:随机变量对应取值的概率为,其单位为bit的熵为,且.(当,规定.)
(1)若抛掷一枚硬币1次,正面向上的概率为,正面向上的次数为,分别比较与时对应的大小,并根据你的理解说明结论的实际含义;
(2)若拋郑一枚质地均匀 的硬币次,设表示正面向上的总次数,表示第次反面向上的次数(0或1).表示正面向上次且第次反面向上次的概率,如时,.对于两个离散的随机变量,其单位为bit的联合熵记为,且.
(ⅰ)当时,求的值;
(ⅱ)求证:.
(1)若抛掷一枚硬币1次,正面向上的概率为,正面向上的次数为,分别比较与时对应的大小,并根据你的理解说明结论的实际含义;
(2)若拋郑一枚
(ⅰ)当时,求的值;
(ⅱ)求证:.
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名校
7 . 已知函数.
(1)证明:当时,;
(2)从编号为1~100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20张,设抽取的20个号码互不相同的概率为.证明:.
(1)证明:当时,;
(2)从编号为1~100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20张,设抽取的20个号码互不相同的概率为.证明:.
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2022-01-16更新
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1217次组卷
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3卷引用:贵州省贵阳市第一中学2022届高三高考适应性月考卷(五)数学(理)试题
贵州省贵阳市第一中学2022届高三高考适应性月考卷(五)数学(理)试题(已下线)专题10-2 概率压轴大题(理)-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)广东省中山市2021-2022学年高二下学期期末数学试题
名校
解题方法
8 . 在孟德尔遗传理论中,称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子,遗传因子总是成对出现,例如,豌豆携带这样一对遗传因子:使之开红花,使之开白花,两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状:为开红花,和一样不加区分为开粉色花,为开白色花,生物在繁衍后代的过程中,后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子,而因为生殖细胞是由分裂过程产生的,每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代,而且各代的遗传过程都是相互独立的,可以把第代的遗传设想为第次试验的结果,每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币,比如对具有性状的父本来说,如果抛出正面就选择因子,如果抛出反面就选择因子,概率都是,对母本也一样,父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状,假设三种遗传性状,(或),在父本和母本中以同样的比例出现,则在随机杂交试验中,遗传因子被选中的概率是,遗传因子被选中的概率是,称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率,实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比,基于以上常识回答以下问题:
(1)如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是,后代遗传性状为,(或),的概率分别是多少?
(2)对某一植物,经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷,可人工剔除,从而使得父本和母本中仅有遗传性状为,(或)的个体,在进行第一代杂交实验时,假设遗传因子被选中的概率为,被选中的概率为,其中、为定值且,求杂交所得子代的三种遗传性状,(或),所占的比例,,;
(3)继续对(2)中的植物进行杂交实验,每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状,(或),所占的比例分别为:,,,设第代遗传因子和的频率分别为和,已知有以下公式,,
(ⅰ)证明是等差数列;
(ⅱ)求,,的通项公式,如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去,会有什么现象发生?
(1)如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是,后代遗传性状为,(或),的概率分别是多少?
(2)对某一植物,经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷,可人工剔除,从而使得父本和母本中仅有遗传性状为,(或)的个体,在进行第一代杂交实验时,假设遗传因子被选中的概率为,被选中的概率为,其中、为定值且,求杂交所得子代的三种遗传性状,(或),所占的比例,,;
(3)继续对(2)中的植物进行杂交实验,每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状,(或),所占的比例分别为:,,,设第代遗传因子和的频率分别为和,已知有以下公式,,
(ⅰ)证明是等差数列;
(ⅱ)求,,的通项公式,如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去,会有什么现象发生?
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名校
9 . 为抢占市场,特斯拉电动车近期进行了一系列优惠促销方案.要保证品质兼优,特斯拉上海工厂在车辆出厂前抽取100辆Model3型汽车作为样本进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析,得到如图所示的频率分布直方图:
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).
(2)根据大量的测试数据,可以认为Model3这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布,经计算第(1)问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数作为的近似值,用样本标准差s作为的估计值,现从生产线下任取一辆汽车,求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.
(3)为迅速抢占市场举行促销活动,特斯拉销售公司现面向意向客户推出“玩游戏,赢大奖,送车模”活动,客户可根据拋掷硬币的结果,指挥车模在方格图上行进,若车模最终停在“幸运之神”方格,则可获得购车优惠券6万元;若最终停在“赠送车模”方格时,则可获得车模一个.已知硬币出现正、反面的概率都是0.5,方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格.车模开始在第0格,客户每掷一次硬币,车模向前移动一次.若掷出正面,车模向前移动一格(从k到k+1),若掷出反面,车模向前移动两格(从k到k+2),直到移到第19格(幸运之神)或第20格(赠送车模)时游戏结束.设车模移到第格的概率为,试证明是等比数列;若有6人玩游戏,每人参与一次,求这6人获得优惠券总金额的期望值(结果精确到1万元).
参考数据:若随机变量服从正态分布,则
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).
(2)根据大量的测试数据,可以认为Model3这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布,经计算第(1)问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数作为的近似值,用样本标准差s作为的估计值,现从生产线下任取一辆汽车,求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.
(3)为迅速抢占市场举行促销活动,特斯拉销售公司现面向意向客户推出“玩游戏,赢大奖,送车模”活动,客户可根据拋掷硬币的结果,指挥车模在方格图上行进,若车模最终停在“幸运之神”方格,则可获得购车优惠券6万元;若最终停在“赠送车模”方格时,则可获得车模一个.已知硬币出现正、反面的概率都是0.5,方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格.车模开始在第0格,客户每掷一次硬币,车模向前移动一次.若掷出正面,车模向前移动一格(从k到k+1),若掷出反面,车模向前移动两格(从k到k+2),直到移到第19格(幸运之神)或第20格(赠送车模)时游戏结束.设车模移到第格的概率为,试证明是等比数列;若有6人玩游戏,每人参与一次,求这6人获得优惠券总金额的期望值(结果精确到1万元).
参考数据:若随机变量服从正态分布,则
您最近一年使用:0次
10 . 设 (,).
(1)若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8,求k的值;
(2)设(),且各项系数,,,…,互不相同.现把这个不同系数随机排成一个三角形数阵:第1列1个数,第2列2个数,…,第n列n个数.设是第i列中的最小数,其中,且i,.记的概率为.求证:.
(1)若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8,求k的值;
(2)设(),且各项系数,,,…,互不相同.现把这个不同系数随机排成一个三角形数阵:第1列1个数,第2列2个数,…,第n列n个数.设是第i列中的最小数,其中,且i,.记的概率为.求证:.
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2020-07-15更新
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1396次组卷
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4卷引用:江苏省南通市2020届高三下学期第四次调研测试数学试题
江苏省南通市2020届高三下学期第四次调研测试数学试题江苏省苏州市常熟中学2020届高三下学期校内适应性考试数学试题黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题(已下线)专题9-1 概率与统计及分布列归类(理)(讲+练)-2