1 . 已知数列满足且．
(1)用数学归纳法证明：；
(2)已知不等式对成立，求证：．
(3)已知不等式对成立，证明：，其中无理数．

2 . 将正方形分割成个全等的小正方形（图1、图2分别给出了的情形），在每个正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列.若顶点处的四个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数和为，则有，______，…，______．

3 . 已知向量，其中是两两不相等的正整数．记，，其分量之间满足递推关系
，，，，．
(1)当时，直接写出向量；
(2)证明：不存在，使得中；
(3)证明：存在，当时，向量满足．

4 . 已知无穷数列满足：
①；
②．
设为所能取到的最大值，并记数列．
(1)若数列为等差数列且，直接写出其公差的值；
(2)若，求的值；
(3)若，，求数列的前100项和．

5 . 已知数列满足，则（       ）

A．若，则数列为常数列

B．若，则对任意，有

C．若，则对任意，有

D．若，则对任意

7 . 对于维向量，若对任意均有或，则称为维向量. 对于两个维向量定义.
（1）若, 求的值；
（2）现有一个维向量序列：若且满足：，求证：该序列中不存在维向量.
(3) 现有一个维向量序列：若且满足：，若存在正整数使得为维向量序列中的项，求出所有的.

8 . 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.