1 . 已知复数，，．
(1)若是纯虚数，求；
(2)若，求．

2 . 已知复数（）满足为纯虚数．
(1)求；
(2)若复数（）在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围．

3 . 已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且.
(1)若为纯虚数，求；
(2)若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；
②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值.

4 . 在复平面内，正方形的两个顶点、对应的复数分别为、，求另外两个顶点、对应的复数.

5 . 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为．
(1)设，，为虚数单位，求复向量、的模；
(2)设、是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立；
②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数．

6 . 已知复数，，其中是虚数单位，．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若，求的取值范围．

7 . 已知复数，是实数，其中是虚数单位，．
(1)求的值；
(2)若复数是关于的方程的根，求实数和的值．

8 . 欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
(1)将复数表示成(，i为虚数单位)的形式；
(2)求的最大值.

9 . 根据要求完成下列问题：
(1)关于的方程有实根，求实数的值；
(2)若复数的共轭复数对应的点在第一象限，求实数的集合.

10 . 已知复数
(1)若z为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围