名校
解题方法
1 . 已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
. 满足
，
的图象关于直线
对称，则（ ）
及其导函数的定义域均为，记. 满足，的图象关于直线对称，则（ ）A． | B． |
C． 为奇函数 | D． |
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7日内更新
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494次组卷
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2卷引用：江西省南昌市八一中学2024届高三下学期三模测试数学试题
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解题方法
2 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线
年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为
，其中
为参数．当
时，该表达式就是双曲余弦函数，记为
，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：
；②二倍角公式：
；③平方关系：
．定义双曲正弦函数为
．
(1)写出
，
具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意
，恒有
成立，求实数
的取值范围；
(3)正项数列
满足
，
，是否存在实数
，使得
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．(1)写出
，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；(2)任意
，恒有成立，求实数的取值范围；(3)正项数列
满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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2024-05-18更新
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316次组卷
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2卷引用：江西省萍乡市2024届高三二模考试数学试卷
解题方法
3 . 函数及其导函数
的定义域均为R，
和
都是奇函数，则（ ）
及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（ ）A．的图象关于直线 对称 | B．的图象关于点 对称 |
| C．是周期函数 | D． |
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解题方法
4 . 已知定义域为R的函数
满足：
，
，且
，则下列说法不正确的是（ ）
满足：，，且，则下列说法不正确的是（ ）A． | B． 是奇函数 |
C．若 ，则 | D． 是奇函数 |
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5 . 随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为
.
(1)试求
，
的值；
(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示
（
），并探究
与
和
的关系；
(3)设数列
的通项公式为
（
），求该数列的前m项的和
.
.(1)试求
，的值；(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示
（），并探究与和的关系；(3)设数列
的通项公式为（），求该数列的前m项的和.
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6 . 定义：设
和
均为定义在
上的函数，其导函数分别为，
，若不等式
对任意
恒成立，则称和为区间上的“友好函数”．
(1)若
和
是“友好函数”，求的取值范围；
(2)给出两组函数：①
，
；②
，
，分别判断这两组函数是否为
上的“友好函数”．
和均为定义在上的函数，其导函数分别为，，若不等式对任意恒成立，则称和为区间上的“友好函数”．(1)若
和是“友好函数”，求的取值范围；(2)给出两组函数：①
，；②，，分别判断这两组函数是否为上的“友好函数”．
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7 . 已知函数
，
，则（ ）
，，则（ ）A．若 有2个不同的零点，则 |
B．当 时， 有5个不同的零点 |
C．若有4个不同的零点 ，则 的取值范围是 |
D．若有4个不同的零点，则 的取值范围是 |
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解题方法
8 . 已知
的定义域为，若的图象关于直线
对称，且
为奇函数，则（ ）
的定义域为，若的图象关于直线对称，且为奇函数，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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解题方法
9 . 若定义在D上的函数满足：对任意
，存在常数
，都有
成立，则称是D上的有界函数，其中
称为函数的上界，最小的M称为函数的上确界．
(1)求函数
的上确界；
(2)已知函数
，
，证明：2为函数的一个上界；
(3)已知函数
，
，若3为的上界，求实数
的取值范围．
参考数据：
，
．
满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中称为函数的上界，最小的M称为函数的上确界．(1)求函数
的上确界；(2)已知函数
，，证明：2为函数的一个上界；(3)已知函数
，，若3为的上界，求实数的取值范围．参考数据：
，．
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2024-05-06更新
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145次组卷
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4卷引用：江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
解题方法
10 . 已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
的图象关于直线对称，
，且
，则（ ）
及其导函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，且，则（ ）| A．为偶函数 | B．的图象关于点 对称 |
C． | D． |
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