4 . 设，y是不超过x的最大整数，且记，当时，的位数记为例如：，，．
(1)当时，记由函数的图象，直线，以及x轴围成的平面图形的面积为，求，及；
(2)是否存在正数M，对，，若存在，请确定一个M的值，若不存在，请说明理由；
(3)当，时，证明：．

5 . 定义：对于定义在区间上的函数，若存在实数，使得函数在区间上单调递增（递减），在区间上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数且称为最优点.已知定义在区间上的函数是以为最优点的单峰函数，在区间上选取关于区间的中心对称的两个试验点，称使得较小的试验点为好点（若相同，就任选其一），另一个称为差点.容易发现，最优点与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间分成两部分，并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为，再对区间重复以上操作，可以找到新的存优区间，同理可依次找到存优区间，满足，可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最优点（或者接近最优点），从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数，则称这样的操作是“优美的”，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，称为优美存优区间常数.对区间进行次“优美的”操作，最后得到优美存优区间，令，我们可任取区间内的一个实数作为最优点的近似值，称之为在区间上精度为的“合规近似值”，记作.已知函数，函数.
(1)求证：函数是单峰函数；
(2)已知为函数的最优点，为函数的最优点.
（i）求证：；
（ii）求证：.
注：.

7 . 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设，，记，，并规定．记，并规定．定义
(1)若，求和；
(2)求；
(3)证明：．

8 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．