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1 . 若函数
的定义域为
，集合
，若存在正实数
，使得任意
，都有
，且
，则称在集合
上具有性质
.
(1)已知函数
，判断在区间
上是否具有性质
，并说明理由；
(2)已知函数
，且在区间
上具有性质
，求正整数
的最小值；
(3)如果是定义域为
的奇函数，当
时，
，且在
上具有性质
，求实数
的取值范围.
的定义域为，集合，若存在正实数，使得任意，都有，且，则称在集合上具有性质.(1)已知函数
，判断在区间上是否具有性质，并说明理由；(2)已知函数
，且在区间上具有性质，求正整数的最小值；(3)如果
是定义域为的奇函数，当时，，且在上具有性质，求实数的取值范围.
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2 . 若定义在A上的函数
和定义在B上的函数
，对任意的
，存在
，使得
（t为常数），则称与具有关系
．已知函数
，
．
(1)若函数
，
，判断与是否具有关系
，并说明理由；
(2)若函数
，
，且与具有关系
，求a的最大值；
(3)若函数
，，且与具有关系
，求m的取值范围．
和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（t为常数），则称与具有关系．已知函数，．(1)若函数
，，判断与是否具有关系，并说明理由；(2)若函数
，，且与具有关系，求a的最大值；(3)若函数
，，且与具有关系，求m的取值范围．
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7日内更新
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194次组卷
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2卷引用：广东省汕头市潮阳一中明光学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
3 . 将所有平面向量组成的集合记作
，f是从到的映射，记作
或
，其中
，
，
，
，
，
都是实数．定义映射
的模为：在
的条件下
的最大值，记作
．若存在非零向量
，及实数
使得
，则称为的一个特征值．
(1)若
，求；
(2)若
，计算的特征值并求出相应的
；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可）
(3)若
，要使有唯一的特征值，实数
，
，
，
应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②
，并验证满足这两个条件．
，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，都是实数．定义映射的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值．(1)若
，求；(2)若
，计算的特征值并求出相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可）(3)若
，要使有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证满足这两个条件．
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4 . 已知定义域为的函数
满足：对于任意的
，都有
，则称函数具有性质
.
(1)判断函数
，
是否具有性质，并说明理由；
(2)已知函数
，判断是否存在
，使函数具有性质？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.(1)判断函数
，是否具有性质，并说明理由；(2)已知函数
，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
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5 . 三角函数的定义是：在单位圆C：
中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为
，转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积
．类似地对于双曲三角函数有这样的定义：在单位双曲线E：
中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是
，双曲角
，则P的坐标是
．其中，
称为双曲余弦函数，
称为双曲正弦函数同样，有类似定义双曲正切函数
双曲余切函数
且有如下关系式：
，
,的初等函数表达式．
（Ⅰ）双曲三角函数有如下和差公式，请任选其一进行证明：
①
；
②
；
（Ⅱ）①求函数
在R上的值域；
②若对
，关于x的方程
有解，求实数a的取值范围．
类似三角函数的反函数，试研究双曲三角函数的反函数artanhx，arcothx．
（2）①证明：
②已知
的级数展开式为
，写出
的级数展开式．
中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为，转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积．类似地对于双曲三角函数有这样的定义：在单位双曲线E：中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是，双曲角，则P的坐标是．其中，称为双曲余弦函数，称为双曲正弦函数同样，有类似定义双曲正切函数双曲余切函数且有如下关系式：，
,的初等函数表达式．（Ⅰ）双曲三角函数有如下和差公式，请任选其一进行证明：
①
；②
；（Ⅱ）①求函数
在R上的值域；②若对
，关于x的方程有解，求实数a的取值范围．类似三角函数的反函数，试研究双曲三角函数的反函数artanhx，arcothx．
（2）①证明：
②已知
的级数展开式为，写出的级数展开式．
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解题方法
6 . 定义非零向量
的（相伴函数）为
，向量称为函数
的“相伴向量”（ 其中
为坐标原点）
(1)求
的相伴向量；
(2)求（1）中函数
的“相伴向量”模的取值范围；
(3)已知点
，其中
为锐角
中角
的对边．若角
为
，且向量
的“相伴函数”
在
处取得最大值．求
的取值范围．
的（相伴函数）为，向量称为函数的“相伴向量”（ 其中为坐标原点）(1)求
的相伴向量；(2)求（1）中函数
的“相伴向量”模的取值范围；(3)已知点
，其中为锐角中角的对边．若角为，且向量的“相伴函数”在处取得最大值．求的取值范围．
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7 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程
，其中
为参数．当
时，就是双曲余弦函数
，类似的我们可以定义双曲正弦函数
．它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)求证：
；
(2)对
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，试比较
与
的大小关系，并证明你的结论.
，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)求证：
；(2)对
，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若
，试比较与的大小关系，并证明你的结论.
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解题方法
8 . 已知函数
的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在
使得
，则称函数在区间上具有性质
，
(1)判断函数
在区间
上是否具有性质
，并说明理由；
(2)若函数
在区间
上具有性质
，求的取值范围；
(3)已知函数的图像是连续不断的曲线，且
，求证：函数在区间
上具有性质
，
的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在使得，则称函数在区间上具有性质，(1)判断函数
在区间上是否具有性质，并说明理由；(2)若函数
在区间上具有性质，求的取值范围；(3)已知函数
的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质，
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9 . 定义在上的函数
，已知其在
内只取到一个最大值和一个最小值，且当
时函数取得最大值为2；当
，函数取得最小值为
．
(1)求出此函数的解析式；
(2)是否存在实数，满足不等式
，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由；
(3)若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的
得到函数，再将函数的图像向左平移
个单位得到函数，已知函数
的最大值为10，求满足条件的
的最小值．
上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为2；当，函数取得最小值为．(1)求出此函数的解析式；
(2)是否存在实数
，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由；(3)若将函数
的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值．
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2024-04-03更新
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215次组卷
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2卷引用：江西省瑞昌市第一中学、修水县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
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解题方法
10 . 设连续函数的定义域为
，如果对于内任意两数
，都有
，则称为上的凹函数；若
，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的
，有琴生不等式
恒成立（当且仅当
时等号成立）.
(1)证明：
在
上为凹函数；
(2)设
，且
，求
的最小值；
(3)设
为大于或等于1的实数，证明：
.（提示：可设
）
的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.(1)证明：
在上为凹函数；(2)设
，且，求的最小值；(3)设
为大于或等于1的实数，证明：.（提示：可设）
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