1 . 已知函数，其中且．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)求证：对任意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数）

3 . 设函数，.
（1）若函数在点处的切线方程为，求实数，的值；
（2）在（1）的条件下，当时，求证：；
（3）证明：对于任意正整数，不等式.

4 . 已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，①方程有实数根；②函数的导数满足.
（1）判断函数是集合M中的元素，并说明理由；
（2）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立.试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；
（3）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，，，当，且时，.

5 . 已知函数，其中为非零常数.
（1）讨论的极值点个数，并说明理由；
（2）若，
①证明：在区间内有且仅有个零点；
②设为的极值点，为的零点，且，求证：.

6 . 已知函数．
（1）若，求证：当时，；
（2）若函数与函数有两个不同交点其中，证明：存在，使得在处的切线斜率与在处的切线斜率相等.

7 . 已知函数，其中．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明：；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（其中e≈2.7183为自然对数的底数）

8 . 已知函数.
（1）当时，求证：；
（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，证明.

9 . 已知函数在点处的切线和直线垂直．
求a的值；
对于任意的，证明：；
若有两个实根，，求证：．

10 . 已知为实常数，函数.
(1)若在是减函数，求实数的取值范围；
(2)当时函数有两个不同的零点，求证：且.（注：为自然对数的底数）；
(3)证明