1 . 对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x²的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．

2 . 定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足下面三个条件：
①对任意正数a，b，都有f(a)＋f(b)＝f(ab)；
②当x>1时，f(x)<0；
③f(2)＝－1.
（1）求f(1)的值；
（2）用单调性的定义证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
（3）求满足f(3x－1)>2的x的取值集合.

3 . 已知函数，（x＞0）．
（1）当0＜a＜b，且f（a）＝f（b）时，求证：ab＞1；
（2）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y＝f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
（3）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y＝f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]（m≠0），求m的取值范围．

4 . 已知函数．

（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）在所给的坐标系中画出该函数的简图；
（3）写出该函数的单调区间不要求证明．

5 . 已知函数是上的奇函数，如图，该函数在上的图象是以点为顶点的二次函数图象的一部分．

（1）画出函数在上的图象；
（2）求函数的表达式；
（3）指出函数的单调区间．（不需证明）

6 . 已知函数（，为常数）.
（1）若且，求、的值；当时，判断并证明函数的单调性；
（2）若，讨论方程解的个数.

7 . 已知奇函数.
（1）求函数的值域；
（2）判断函数的单调性，并给出证明；
（3）若函数在区间上有两个不同的零点，求m的取值范围.

8 . 已知函数.
（1）判断的奇偶性；
（2）判断并证明的单调性，写出的值域.

9 . 已知函数是上的奇函数.
（1）先求常数的值再求.
（2）判断并用定义证明函数单调性.

10 . 已知， ，且，．
（1）求函数的解析式；
（2）证明函数在区间上是单调增函数．