1 . 定义:设和均为定义在上的函数,它们的导函数分别为和,若不等式对任意实数恒成立,则称和为“相伴函数”.
(1)给出两组函数,①和;②和,分别判断这两组函数是否为“相伴函数”;
(2)若是定义在上的可导函数,是偶函数,是奇函数,,问是否存在使得和为“相伴函数”?若存在写出的一个值,若不存在说明理由;
(3),写出“和为相伴函数”的充要条件,证明你的结论.
(1)给出两组函数,①和;②和,分别判断这两组函数是否为“相伴函数”;
(2)若是定义在上的可导函数,是偶函数,是奇函数,,问是否存在使得和为“相伴函数”?若存在写出的一个值,若不存在说明理由;
(3),写出“和为相伴函数”的充要条件,证明你的结论.
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2 . 贝塞尔曲线(Be'zier curve)是一种广泛应用于计算机图形学、动画制作、CAD设计以及相关领域的数学曲线.它最早来源于Bernstein多项式.引入多项式,若是定义在上的函数,称,为函数的n次Bernstein多项式.
(1)求在上取得最大值时x的值;
(2)当时,先化简,再求的值;
(3)设,在内单调递增,求证:在内也单调递增.
(1)求在上取得最大值时x的值;
(2)当时,先化简,再求的值;
(3)设,在内单调递增,求证:在内也单调递增.
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解题方法
3 . 已知,函数是定义在上的奇函数,且.
(1)求的解析式;
(2)判断的单调性,并用函数单调性的定义加以证明.
(1)求的解析式;
(2)判断的单调性,并用函数单调性的定义加以证明.
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昨日更新
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14次组卷
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2卷引用:上海市格致中学2024届高三下学期三模数学试卷
名校
4 . 初中学过多项式的基本运算法则,其实多项式与方程的根也有密切关联.对一组变量,幂和对称多项式,且;初等对称多项式表示在中选出个变量进行相乘再相加,且.例如:对.已知三次函数有3个零点,且.记,.
(1)证明:;
(2)(i)证明:;
(ii)证明:,且;
(3)若,求.
(1)证明:;
(2)(i)证明:;
(ii)证明:,且;
(3)若,求.
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5 . 已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若对任意的恒成立,求的范围.
(1)讨论的单调性;
(2)若对任意的恒成立,求的范围.
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解题方法
6 . 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂, 并只受重力的影响,这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年,莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 ,其中为参数.当时,就是双曲余弦函数,类似地双曲正弦函数 ,它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比三角函数的三个性质:
①倍角公式 ;
②平方关系 ;
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明;
(2)当时,双曲正弦函数图象总在直线的上方,求实数的取值范围;
(3)若,证明:
(1)类比三角函数的三个性质:
①倍角公式 ;
②平方关系 ;
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明;
(2)当时,双曲正弦函数图象总在直线的上方,求实数的取值范围;
(3)若,证明:
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7 . 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设,,记,,并规定.记,并规定.定义
(1)若,求和;
(2)求;
(3)证明:.
(1)若,求和;
(2)求;
(3)证明:.
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解题方法
8 . 若函数与在区间上恒有,则称函数为和在区间上的隔离函数.
(1)若,判断是否为和在区间上的隔离函数,并说明理由;
(2)若,且在上恒成立,求的值;
(3)若,证明:是为和在上的隔离函数的必要条件.
(1)若,判断是否为和在区间上的隔离函数,并说明理由;
(2)若,且在上恒成立,求的值;
(3)若,证明:是为和在上的隔离函数的必要条件.
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285次组卷
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2卷引用:河北省沧州市部分高中2024届高三下学期二模考试数学试题
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解题方法
9 . 已知函数为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断函数的单调性(不用证明);
(3)设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求实数m的取值范围.
(1)求实数a的值;
(2)判断函数的单调性(不用证明);
(3)设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求实数m的取值范围.
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657次组卷
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2卷引用:广东省汕头市金南实验学校2024届高三下学期三模数学试题
10 . 莫比乌斯函数,由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出,数学家梅滕斯首先使用作为莫比乌斯函数的记号,其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式:(为的质因数个数,为质数,,),例如:,对应,,,,,,.现对任意,定义莫比乌斯函数.
(1)求,;
(2)已知,记(为的质因数个数,为质数,,)的所有因数从小到大依次为,,…,.
(ⅰ)证明:;
(ⅱ)求的值(用()表示).
(1)求,;
(2)已知,记(为的质因数个数,为质数,,)的所有因数从小到大依次为,,…,.
(ⅰ)证明:;
(ⅱ)求的值(用()表示).
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