1 . 设，对任意的实数，记函数（表示中的较小者）.若方程恰有5个不同的实根，则满足题意的条件可能为___________.（填写所有符合题意的条件的序号）
①；
②或；
③；
④.

2 . 已知函数的定义域为，值域为，若存在整数，，且，则为函数的“子母数”.已知集合，函数，（表示不超过的最大整数，例如），当时，函数的所有“子母数”之和为________.

3 . 已知函数.若满足，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．若，则

D．若，则

4 . 已知函数   .
(1)用单调性定义证明：在上单调递增；
(2)若函数有3个零点，满足，且 .
①求证： ；
②求的值（表示不超过的最大整数）.

5 . 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．在区间上单调递减

C．若，则函数有3个不同的零点

D．若，则函数有3个不同的零点

6 . 已知函数

(1)完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数的简图；
(2)根据（1）的结果，若（），试猜想的值，并证明你的结论.

			1	2	4

7 . 水星是离太阳最近的行星，在地球上较难观测到.当地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角达到最大时，称水星东（西）大距，这是观测水星的最佳时机（如图1）.将行星的公转视为匀速圆周运动，则研究水星大距类似如下问题：在平面直角坐标系中，点A，分别在以坐标原点为圆心，半径分别为1，3的圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度分别为，.当达到最大时，称A位于的“大距点”.如图2，初始时刻A位于，位于以为始边的角的终边上.
   
（1）若，当A第一次位于的“大距点”时，A的坐标为______；
（2）在内，A位于的“大距点”的次数最多有______次

8 . 已知表示不超过的最大整数，例如：，.定义在上的函数满足，且当时，，则（       ）

A．

B．当时，

C．在区间上单调递增

D．关于的方程在区间上恰有23个实根

9 . 已知函数，为偶函数，且当时，，记函数，给出下列四个结论：
①当时，在区间上单调递增；
②当时，是偶函数；
③当时，有3个零点；
④当时，对任意，都有．
其中所有正确结论的序号是__________．

10 . 函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等．已知

(1)研究并证明函数的性质；
(2)根据函数的性质，画出函数的大致图象．